Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

Малышева Е.М. 1
1МБОУ Барвихинская СОШ
Толстов Д.А. 1
1МБОУ Барвихинская СОШ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

«Не знающие пусть научатся,

а знающие вспомнят еще раз»

Я.Трахтенберг

Введение

Математика всегда была и останется одним из основных школьных предметов, потому что математические знания необходимы всем людям. С ней связана вся наша жизнь: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Какую бы профессию в дальнейшем не выбрал человек – она так или иначе будет связана с математическими понятиями и задачами. Кроме того, всем обучающимся необходимо сдавать экзамены в 9-м и в 11-м классе, а также успешно переходить из класса в класс, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать, причем быстро и правильно.

Конечно же, в наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники как бы неуместно говорить об устном счете, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Мы постоянно что-то считаем: минуты до прихода и отхода поезда, недели и дни до наступления каникул или дня рождения, деньги, потраченные на покупки… К вычислениям прибегает человек любой профессии. Повар считает, сколько нужно взять муки, масла и сахара, чтобы испечь вкусные булочки. Учёный с помощью чисел точно описывает научный эксперимент. Быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. 
Наверняка каждый сталкивался с ситуацией на контрольной, когда до звонка остаются считанные минуты, найдено решение задачи, а времени на вычисления не осталось. [1]

Устным счетом, помогающим развивать память и тренировать навыки, должен владеть каждый. Обучение такому виду умственной деятельности будет успешным, если присутствуют способности, которые совместно с умственной концентрацией помогают сосредоточить внимание на поставленной задаче и удержать в памяти сложные числа; а знание формул, обуславливающих легкость производимых вычислительных действий - практика, которая наряду с постоянными тренировками, позволяет развивать и совершенствовать навыки. [2]

. Тема моей проектной работы - «Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга». Я выбрала ее, так как считаю, что умение быстро устно считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.

Цель проекта: изучить методы быстрого счета - метод Якова Трахтенберга, доказать эффективность использования этого метода для упрощения вычислений, а значит и для уменьшения времени на выполнения заданий, создать буклет, в котором собрать основные методы быстрого счета.

Актуальность темы моего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь людям приходят калькуляторы, и все большее количество не может быстро считать устно, что влияет на скорость и рациональность решения задач. Всем хорошо известно, что изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное. Здесь уместно вспомнить высказывание М.В. Ломоносова «Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Задачи проекта:

Ознакомиться с биографией Якова Трахтенберга.

Рассмотреть приемы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга.

Подробно изучить способы умножения любых чисел на множители от нуля до 12 и научиться использовать их для устных вычислений;

Создать памятку с кратким описанием алгоритма вычислений;

Разработать буклет с основными методами устного умножения для применения учениками школ.

Методы.

При работе над проектом я пользовалась следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы в библиотеке, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

анализ и систематизация полученных в ходе исследования данных.

Основная часть

Биография Якова Трахтенберга

К настоящему времени сохранилось мало достоверных фактов из биографии этого великого человека. Точно известно, что родился он в 1888 году в еврейской семье, проживавшей в Одессе, на территории Российской империи. Здесь же он получил среднее образование, после чего юноша отправился продолжать учебу в Петербург, где стал студентом Горного института. Обучение Якова происходило успешно, о чем говорит полученный им диплом с отличием и направление на работу на Обуховский завод. Поступив туда поначалу на рядовую инженерную должность, он, благодаря своему уму и старательности, очень быстро дорос до должности главного инженера завода, где под его руководством стало находиться свыше 11 тысяч рабочих.

Дальнейшую карьеру Трахтенберга сорвали сначала Первая мировая война, а потом разразившаяся в России череда революций. Сам Яков был убежденным пацифистом, однако во время смуты подобные взгляды оказались не в чести. Поэтому молодой перспективный инженер принял решение выехать из страны. Как и множество других вынужденных переселенцев первой волны, он перебрался в Германию, и поселился в Берлине. Там он нашел работу в издательстве, занимавшемся выпуском пацифистской литературы. Как человек с образованием, он входил в группу экспертов по вопросам России и даже выпустил книгу, рассказывавшую о российской промышленности. Учитывая, что ему самому пришлось привыкать к новому для себя языку, он разработал собственную оригинальную методику изучения различных иностранных языков. Интересно, что данная методика успешно используется и в настоящее время. В Германии Трахтенберг создал семью, взяв в жены девушку Алис, происходящую из аристократической семьи [3].

Однако вскоре и на новом месте жизнь круто изменилась. К власти в Германии пришло нацистское правительство, управляемое Адольфом Гитлером. Чете Трахтенбергов, открыто выступавшей против нацизма, пришлось срочно выехать из Германии в Австрию. Здесь грамотного специалиста приняли в Вене, предложив должность в редакции научного журнала. Но вскоре расширявшая границы гитлеровская Германия дотянулась и до Австрии, и беженцам из Германии пришлось срочно искать новое безопасное место для жизни. Трахтенберги выбрали Югославию, но и туда в 1941 году дотянулись щупальца нацизма. 

Яков и его супруга были арестованы, после чего эшелоном доставлены в Польшу, где в тот момент строился концентрационный лагерь Аушвиц, ныне более известный как Освенцим. Яков Трахтенберг со своей женой в составе рабочих команд прошли через ужасы подлинного ада, устроенного для заключенных руководством лагеря. Из-за того, что кормежка покрывала затраты энергии лишь в малой степени, люди быстро теряли силы. Самые слабые из них ежедневно уничтожались, отправляясь под расстрел и в печи крематориев. 
Его тело истощалось с каждым днем, но разум отказывался принять окончательное поражение и устремлялся в мир беспристрастных, жизнеутверждающих чисел, которые по его воле складывались в удивительные по своей красоте математические построения. В заключении он разработал метод Трахтенберга. Сначала он просто занимался сложением многозначных величин. Но потом встала задача о способе быстрого счёта. Задача оказалась нелегкой, и Трахтенберг придумал элементарный в обращении способ, который позволяет любому, даже ребенку, безошибочно производить простое арифметическое действие, оперируя цифрами.

Когда в 1944 г. стало известно о его предстоящей казни, его верный друг — жена сумела спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег — и супруги Трахтенберг в Швейцарии. В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой Математический институт — единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.
Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но конечно, как на всякое новое дело, на усвоение их (особенно когда речь идет о взрослых людях, которым приходится отказываться от прежних привычек), требуется и время, и известное напряжение.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае, по части математики), превосходно, быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как, впрочем, и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще.
Система Трахтенберга уже оказала свое влияние не только на школьное преподавание, но и на практику банковских расчетов, причем не только в Швейцарии.

На основе изысканий Трахтенберга профессор Рудольф Мак-Шэйн и журналист Анна Кутлер совместно с Яковом составили учебник, предназначенный для учителей и учеников старших классов, а также студентов колледжей. Эта книга вышла в свет под названием «Быстрая система элементарной математики Трахтенберга» [4].

Правила умножения чисел.

А теперь рассмотрим некоторые виды умножения, не пользуясь таблицей умножения и классическим способом умножения «в столбик».

В своей работе я буду излагать материал по принципу «от простого – к сложному». То есть не по мере возрастания цифр (от нуля до 12), а по мере увеличения сложности вычислений.

Начнем с самого простого. [5]

2.1. Умножение на 11

Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:

1. Последняя цифра множимого записывается как самая правая цифра результата.

2. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.

3. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг.

Рассмотрим пример: 633 * 11

Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило.

Напишите последнюю цифру числа в качестве правой цифры результата: 3

Второе правило.

Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. Перед 3 записываем в результате 6:

633*11

63

Применим второе правило еще раз:

6+3 будет 9. Записываем и эту цифру слева в результат:

633*11

963

Третье правило.

Первая цифра числа 633 это 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

Большие числа обрабатываются таким же способом. Второе правило (“каждая последующая цифра множимого складывается со своим правым соседом”) в нашем примере применено дважды; при больших числах это правило может быть применено многократно.

В начале числа следует ставить ноль. Он должен нам напоминать о том, что действие еще не закончено. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру. Ответ длиннее данного числа на одну цифру, и ноль в начале указывает на это.

Иногда при сложении числа с его “соседом” в ответе получается число, состоящее из двух цифр: так, 5 и 8 дают 13. В этом случае мы пишем 3 и, как обычно, «переносим» 1. При переносе единицы достаточно поставить точку, в тех случаях, когда переносится двойка - две точки.

2.2. Умножение на 12

Правило умножения на 12 заключается в следующем:

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее “соседа”.

В отличие от умножения на 11, теперь каждую цифру удваивают, прежде чем прибавлять к ней “соседа”. Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.

Первый шаг.

0413*12,Удваиваем самую правую цифру и под ней пишем ответ.

6

Второй шаг.

0413*12 Удваиваем 1 и прибавляем «соседа» 3.

56

Третий шаг.

0413*12 Удваиваем 4 и прибавляем 1.

956

Последний шаг.

0413*12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4.

4956

Ответ: 4 956.

Проделав это самостоятельно, мы убедимся, что действие производится очень быстро и легко.

При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры “пополам”.

Отличительная особенность нечетных цифр (1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их “пополам” мы отбрасываем дроби. Четные цифры (0, 2, 4, 6 и 8) дают обычный результат.

2.3. Умножение на 6

Приведем правило умножения на 6:

Прибавьте к каждой цифре “половину” “соседа” и еще 5 в том случае, если цифра нечетная.

Является ли “сосед” четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на “цифру”: если она четная, прибавляем к ней “половину” “соседа”, если нечетная, то, кроме “половины соседа”, прибавляем еще 5.

Например: 04352*6.

Первый шаг.

04352*6, 2 - четная и не имеет “соседа”; напишем ее снизу.

2

Второй шаг.

04352*6, 5нечетная; 5 плюс 5 плюс половина от 2, будет 11.

12

Третий шаг.

04352*6, 3 нечетная; 3 плюс 5 будет 8, плюс половина от 5, плюс перенос.

112

Четвертый шаг.

04352*6, 4 плюс “половина” от 3, плюс перенос.

6112

Последний шаг.

04352 х 6 Ноль плюс “половина” от 4.

26112

Ответ: 26112.

Число, которое мы умножали на 6, было длинным. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножить на 6 однозначные числа, например 8 на 6?

Да, и даже не потребуется никаких изменений. Попробуем умножить 8 на 6, применив тот же способ:

08*6 “соседа” нет; пишем просто 8

8

08*6 ноль плюс “половина” от 8, будет 4.

48

Когда множимое нечетное, например 7, то при первом шаге мы должны прибавить 5. Разумеется, мы ее не прибавляем при втором шаге, так как ноль мы рассматриваем как четное число:

07*6, 7 плюс 5, будет 12.

2

07*6 ноль плюс “половина” от 7 плюс перенесенная 1.

42

2.4. Умножение на 7

Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6.

Удвойте цифру и прибавьте половину соседа. Если цифра нечетная, прибавьте еще 5.

Предположим, что мы хотим умножить 4242 на 7.

В этом примере мы действуем так же, как и при умножении на 6, если не считать того, что теперь мы удваиваем цифру:

Первый шаг.

04242*7, дважды 2.

4

Второй шаг.

04242*7, дважды 4 плюс половина соседа.

94

Третий шаг.

04242*7, дважды 2 плюс половина соседа.

694

Четвертый шаг.

04242*7 дважды 4 плюс 1.

9694

Последний шаг.

04242*7, дважды ноль, но еще прибавляется половина соседа.

29694

2.5. Умножение на 5

Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать ее, как при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее четность или нечетность,

Если цифра нечетная, берем половину соседа и прибавляем 5. Если цифра четная, пишем половину соседа.

Предположим, мы хотим 426 умножить на 5:

0426*5 смотрим на цифру 6, она четная: 5 не прибавляем (соседа нет).

0

0426*5 смотрим на цифру 2, она четная; пишем половину от 6.

30

0426*5 смотрим на цифру 4, она четная; пишем половину от 2.

130

0426*5 смотрим на 0 - четная; возьмем половину от 4.

2130

Если бы мы имели во множимом нечетную цифру, мы бы прибавили 5:

0436*5 как выше.

0

0436*5, 3 - нечетная; 5 плюс половина соседа (3), т.е. 8.

80

0436*5

2180

Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало.

2.6. Умножение на 9

При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем еще один полный шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из 9 или 10. Предположим, мы хотим 4567 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, чтобы последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10, Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4567 и говорим “3”. Не надо предварительно говорить: “10 минус 7, будет 3”, реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим “3”.

Иногда нам придется вычитать цифру не из 10, а из 9. Мы смотрим, например, на цифру 7 и тут же говорим “2”.

Правило умножения на 9 гласит:

1. Вычтите правую цифру большего числа из 10. Это дает правую цифру результата.

2. Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее из 9 и прибавьте соседа.

3. В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед данным числом, вычтите 1 из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.

Если имеется точка (перенесенная 1), то, разумеется, при всех этих шагах вы, как обычно, должны ее прибавить.

Рассмотрим пример: 8769 умножить на 9:

08769*9

78921

Во-первых, вычитаем 9 из 10, получаем 1.

Во-вторых, вычитаем 6 из 9 (получим 3) и прибавляем соседа (9). Результат -12, поэтому пишем точку и 2.

В-третьих, 7 вычитаем из 9 (получаем 2), плюс сосед (6), будет 8 и плюс “точка”, будет 9.

В-четвертых, 8 вычитаем из 9, будет 1, плюс сосед, будет 8.

В-пятых, это последний шаг, поэтому уменьшаем самую левую цифру от числа 8769 на 1, и 7 становится самой левой цифрой результата.

2.7.Умножение на 8

Правила умножения на 8 таковы:

1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте.

2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.

3. Левая цифpa: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.

Умножение на 8 аналогично умножению на 9, с той лишь разницей, что происходит удвоение разностей и в последнем шаге из левой цифры большого числа вычитается не 1, а 2.

Рассмотрим пример: 789*8:

0789*8, 10 минус 9 получаем 1 и удваиваем результат.

2

0789*8, 9 минус 8 равно 1, удваиваем и прибавляем соседа 9, равно 11.

12

0789*8 9 минус 7, умножить на 2, плюс 8, плюс перенос, получаем 13.

312

0789*8, 7 минус 2, плюс перенос, равно 6.

6312

2.8. Умножение на 4

Правила умножения на 4 таковы:

1. Вычтите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.

2. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа.

3. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.

Пример: Умножить 5 187 на 4:

Первый шаг.

05187*4, от 10 отнять 7, будет 3, прибавить затем 5, так как 7 нечетно.

8

Второй шаг.

05187*4, от 9 отнять 8 плюс половина от 7.

48

Третий шаг.

05187 х 4, 9 минус 1 плюс 5, плюс половина от 8.

748

05187х 4, 9 минус 5, плюс 5 плюс перенос 1

0748

Последний шаг.

05187 х 4 “половина” от 5 минус 1 плюс 1 перенос.

20748

2.9. Умножение на 3

Правила умножения на 3 выглядят следующим образом:

1. Первая цифра: вычтите ее из 10 и удвойте. Если цифра нечетная, прибавьте 5.

2. Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.

3. Самая левая цифра: разделите на 2 самую левую цифру большого числа и вычтите 2.

Умножим 2588 на 3

Первый шаг.

02588*3, 10 минус 8, удваиваем, равно 4

4

Второй шаг.

02588*3, это 9 минус 8, удваиваем, плюс половина от 8.

64

Третий шаг.

02588*3 9, (9-5)*2+5+8/2=17, последняя цифра 7, 1 переносим.

764

Четвертый шаг.

02588х3 7 – (9-2)*2+5/2+1=17, 7 пишем, 1 переносим.

7764

Последний шаг.

02588 х 3 ноль - это половина от 2 “плюс точка” минус 2. 2/2+1-2 = 0

07764

2.10. Умножение на 2

Умножение на 2, разумеется, очень просто. По методу Трахтенберга мы поочередно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.

2.11. Умножение на 1

Умножение на 1 числа не изменяет. Любые числа любой величины при умножении их на 1 остаются неизменными. Поэтому правило звучит так:

Перепишите поочередно все цифры данного числа.

Последние несколько правил для умножения на малые цифры включены главным образом ради полноты описания метода.

Все же важно заметить, что во всех случаях умножения на любые цифры число действительно необходимых операций невелико и все они очень просты. Вычитание из 9, удваивание, образование “половины” и прибавление “соседа” - вот единственные операции, с которыми приходится иметь дело. Если поупражняться, то все они будут казаться естественными, простыми и будут выполняться автоматически.

2.12. Умножение двузначных чисел на двузначные.

Правило умножения двузначных чисел на двузначные звучит следующим образом:

Правая цифра: умножьте единицы.

Средние цифры: уберите между числами знак “умножить” (46 * 35 станет 4635) и сложите произведения внутренних и внешних цифр числа.

Левая цифра: умножьте десятки.

Умножим 87 на 32:

Первый шаг.

87 * 32 | 47 * 2 = 14, 4 пишем,1 переносим.

Второй шаг.

87 * 32 |847 * 3 + 8 * 2 = 37 и 1- из прошлого действия. 8 пишем, 3 переносим.

Третий шаг.

87 * 32 |2784 8 * 3 = 24 и 3 из прошлого действия, 27.

Ответ: 2784

2.13. Умножение трехзначных чисел на двузначные.

Правило умножения трехзначных чисел на двузначные схоже с правилом умножения двузначных чисел на двузначные.

Правая цифра: умножаем крайние правые цифры первого и второго множителя.

Средние цифры: Перемножаем и складываем внутренние и внешние пары.

Последняя цифра: умножаем крайние левые цифры множителей между собой.

Пример: 476 * 46

Первый шаг.

476 * 46| 6 6 * 6 = 36, 6 пишем, 3 переносим.

Второй шаг.

476 * 46|96 первыми парами будут 6 * 4 + 7 * 6 и еще 3 из прошлого действия, получается 69 – 9 пишем, 6 переносим.

Третий шаг.

476 * 46 | 896 вторые пары 7 * 4 + 4 * 6 и еще 6 из прошлого действия. Получается 58, 8 пишем 5 переносим.

Четвертый шаг.

476 * 46 |21896 4 * 4 + 5 = 21. Ответ: 21896

Практическая часть

Практическим результатом моей проектной работы стала брошюра “Способы быстрого умножения чисел по методу Якова Трахтенберга”.

Цель создания брошюры: собрать и систематизировать изученный материал для его функционального применения в практических целях школьниками средних и старших классов, студентами и преподавателями математики.

Этапы практической работы.

Поиск материалов по теме проекта.

Определение конечного продукта, соответствующего теме проекта и поставленным целям.

Разработка эффективного и практичного способа представления материала.

Выбор способов быстрого умножения для брошюры, их классификация и оформление в табличной форме.

Выбор стиля и дизайна брошюры.

Практическая работа по созданию макета брошюры.

Печать брошюры в типографии.

В начале брошюры представлена краткая биография создателя способов быстрого счета Якова Трахтенберга. Также представлены несколько фотографий, иллюстрирующих материал.

Далее собраны способы умножения чисел от 0 до 12, умножение двузначных чисел на двузначные и на трехзначные числа.

Материал собран и представлен по принципу «от простого к сложному». Это сделано не случайно. Авторская методика быстрого счета Якова Трахтенберга предполагает запоминание последовательности простых арифметических действий, которые повторяются в разных вариантах при умножении чисел. Методика запоминания «от простого к сложному» позволяет наиболее эффективно, быстро и легко усваивать материал.

В конце брошюры представлена таблица (памятка), в которой изложены только алгоритмы вычислений. Это краткий сводный материал по всем представленным в брошюре способам вычислений. Памятка необходима для того, чтобы не ошибиться в последовательности арифметических действий при быстром устном счете.

Я постаралась изложить доступным языком материал, представленный в брошюре, чтобы каждый человек, которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по способам умножения в уме, увидеть математические закономерности, понять всю красоту и разнообразие приемов устного счета.

Заключение

С большим интересом я познакомилась с системой быстро счета Якова Трахтенберга. Изучая материал, я поняла, что эта система основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить любое число на 11, 12, 6 и другие числа, надо знать алгоритм выполнения. В этой системе приходится в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучает их и учится применять на практике.

Раньше я и не предполагала, что существуют другие способы умножения, кроме общеизвестной таблицы умножения и вычисления «в столбик». Большинство моих знакомых и даже мои родители не были знакомы с методом Якова Трахтенберга. Я изучила новые для меня способы умножения, рассказала о них родителям и одноклассникам. Все с большим интересом отнеслись к теме моего проекта. Это доказывает, как многогранна математика, сколько ее возможностей скрыто еще от нас. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы вычисления.

Использование этих и других методов устного счета помогает развивать скорость вычисления на уроках и дома, тренирует память, помогает добиваться успехов в изучении всех школьных предметов. [6] Устный счет – гимнастика для ума! Изучайте математику, это очень интересно!

Список литературы

Хэндли Б. Считай в уме как компьютер.- пер. с англ. Е.А. Самсонов. – Мн.: «Попурри»,2006. – 352 с.

Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Трахтенберг,_Яков

https://isralove.org/load/13-1-0-1878

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Просвещение,- 1967

Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка».- Москва, 2006.

Приложение 1

Алгоритм вычислений (памятка)

Умножение на

Характер действий

11

К каждой цифре результата прибавляем соседа справа*.

12

Удваиваем цифру и прибавляем соседа справа.

6

Прибавляем к цифре половину** соседа справа. Если цифра нечетная, то прибавляем 5, если четная - то ничего не прибавляем.

7

Удваиваем цифру, прибавляем 5, если она нечетная, и половину соседа справа.

5

Берем половину соседа справа, если цифра нечетная – то прибавляем 5.

9

Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9 и прибавляем соседа справа.

Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 1.

8

Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого и удваиваем.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем соседа справа.

Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 2.

4

Первая цифра справа: вычитаем из 10 и прибавляем 5, если цифра нечетная.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, прибавляем половину соседа справа и 5, если цифра нечетная.

Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 1.

3

Первая цифра справа: вычитаем из 10, удваиваем и прибавляем 5, если цифра нечетная.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем половину соседа справа.

Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 2.

2

Удваиваем каждую цифру множимого.

1

Переписываем множимое без изменений.

0

Ноль, умноженный на любое число дает ноль.

*- первое правило: все вычисления производятся и записываются справа налево.

**- второе правило: при делении на 2 нечетного числа, дробная часть отбрасывается (1/2=0, 3/2=1, 5/2=2, 7/2=3, 9/2=4).

21

Просмотров работы: 11974