IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Как говорил Бертран Рассел: «Математика заключает в себе не только истину, но и высочайшую красоту – красоту холодную и строгую, подобную красоте скульптуры».
В окружающем нас мире всё время происходят явления, которые заранее невозможно предсказать: это и ядерные реакции, и передача наследственных признаков, и солнечные вспышки… Можно ли какими-либо точными методами изучать случайность? Кажется, что одно исключает другое. Однако существует теория вероятностей, которая всецело посвящена именно теории случайных явлений. Меня заинтересовала эта тема, и я решила провести исследовательскую работу «Закономерности случайных событий».
Актуальность темы:
Теория вероятностей и закон больших чисел утверждают: иногда нужно пытаться снова и снова, чтобы получить желаемый результат. Чем больше пытаешься, тем скорее получится. Если проще: иногда надо просто не сдаваться.
Гипотеза:
С помощью теории вероятностей можно реально оценить происходящие события.
Цель:
Выявить закономерности возникновения вероятностных событий в повседневной жизни.
Задачи:
Изучить историю появления теории вероятностей как науки.
Рассмотреть вероятностные события в жизни, приводящие к возникновению закономерностей.
Обосновать выдвинутую гипотезу эмпирическим способом.
Подвести итоги полученных результатов.
История возникновения. По одной из версий в 17 веке был один азартный игрок, француз де Мере, который очень хотел разбогатеть. Однажды он обратился к своему другу, известному математику и философу Б. Паскалю с вопросом: «Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?». Паскаль попросил помощи у математика П. Ферма и они вместе стали заниматься этой проблемой. Таким образом и появилась теория вероятностей. Полное обоснование она получила в 1922 году. Этому способствовали русские математики, а именно П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов и А.А. Марков. В наши дни она широко применяется во многих областях: при прогнозировании погоды, в статистике, биологии, экономике и т. д.
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели» - Г. Лейбниц. Это высказывание иллюстрирует теорию вероятностей.
Основная часть.
Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Виды событий:
Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдёт.
Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти.
Невозможное событие – событие, которое не может произойти.
Классическая формула для вычисления вероятности случайного события: P=m/n, где m – число благоприятных исходов, а n – число всех возможных исходов.
Вероятность события никогда не будет больше 1 или меньше 0. Она равна 0 у событий, которые не могут произойти.
Вероятность равна 1, если мы говорим о событиях, которые точно произойдут. В нашем примере это вероятность того, что «все числа будут делиться на 1»
Рассмотрим теорию вероятностей на примере задачи из ОГЭ по математике.
Задача:
Витя выбрал трёхзначное число. Нужно найти вероятность того, что оно делится на 5.
Решение: Вычислим вероятность с помощью формулы.
Общее число всех возможных исходов: 900 (всего существует трёхзначных чисел). Число благоприятных для события «А» исходов: 180 (количество чисел, делящихся на 5).
P(A)=180/900=0,2
Ответ: 0,2
Закон больших чисел (ЗБЧ) — это обобщённое название нескольких теорем, описывающих результат выполнения одного и того же опыта много раз. К ним относятся теоремы Чебышева (наиболее общий закон больших чисел) и Бернулли (простейший). Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. В основе доказательства теорем лежит неравенство Чебышева:
Примером этого закона может служить обычное бросание монетки. Теоретически и орел, и решка могут выпасть с одинаковой вероятностью 50%. Например, если бросить монетку 20 раз, 10 из них должен выпасть орёл и 10 – решка. Но на практике это обычно не работает, ведь частота выпадения может быть 4 к 6, 3 к 7 и т.д. Однако с увеличением количества бросков монетки, к примеру, до 1000, вероятность выпадения орла или решки будет 1\2. Согласно закону больших чисел, если бросать монетку бесконечно, вероятность выпадения орла или решки всегда будет стремиться к 50%.
Также задания на эту тему присутствуют в ЕГЭ по математике.
Теория вероятности в жизни.
Многие боятся летать на самолётах, потому что считают, что они опасны. Но на самом деле машины намного опаснее. Вероятность того, что человек, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Таким образом, если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет, чтобы погибнуть. На самом деле опаснее переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.
Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но почему-то фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека встретиться с акулой составляет 1 к 11,5 миллионам, а шанс погибнуть от такой встречи 1 к двумстам шестидесяти четырём миллионам. За прошлый год от акул в США погиб только 1 человек.
Теория вероятностей может ответить на многие вопросы. Например, почемув плюсе всегда остаётся только казино? Давайте решим простую задачку:
С какой вероятностью вы выиграете в рулетке в казино, поставив на чёрное?
Всего в рулетке 18 чёрных чисел, но общее количество клеток – 37 (18 чёрных, 18 красных и зеро). Так что вероятность выигрыша получается приблизительно 0,49.
Азартные игры. Это игры в кости, лотереи, карточные игры и т.д. В их основе лежит вероятность. По подсчётам, вероятность выиграть в «Гослото 5 из 36» равна одному к трёмстам семидесяти семи тысячам, в «Гослото 6 из 45» - одному к восьми миллионам, в Евроджекпот – одному к пятидесяти девяти миллионам, а в международную лотерею «PowerBall» - одному к ста семидесяти пяти миллионам.
Практическая часть.
Существует один парадокс: «Представьте группу из 23 человек. Какова вероятность того, что хотя бы два человека из них отмечают день рождения в один день?»
Интуитивное мышление сразу подсказывает, что это можно легко проверить по формуле теории вероятностей: Р(А)=23/365=0,063…
Но на самом деле всё далеко не так. Вероятность такого события равна чуть меньше 0,51. Давайте разберёмся, почему.
Дело в том, что если взять двоих человек, то вероятность совпадения дней рождения действительно равна Р(А)=1/365=0,003, но если людей больше, то их уже нужно учитывать не по отдельности, а попарно. Таким образом, из 23 человек можно составить 253 пары. Вероятность того, что хотя бы в одной паре дни рождения совпадут, конечно, намного больше, и рассчитывается она именно так: Учтём, что существует только 2 исхода: либо у кого-то дни рождения совпадают, либо вообще все родились в разные дни (ни у кого дни рождения не совпадают). Точно будет либо так, либо так. Тогда давайте найдём вероятность второго исхода, вычтем результат из единицы и получим искомое (хотя бы у двоих человек день рождения будет в один день).
Начнём с 2 человек, там всё просто. Первый может родиться в любой день в году. Тогда второму остаётся 364 дня, ведь 1 уже занят. Вероятность несовпадения дней рождения у них составляет P(A)=364/365. Если человека 3, то второму остаётся 364 дня, а третьему 363 (ведь 2 уже занято). Всё это должно произойти одновременно, поэтому общая вероятность находится умножением (364/365 * 363/365), то есть для троих человек вероятность несовпадения дней рождения Р=0,9917…
Таким образом, можно наращивать вероятность, и каждому человеку будет доставаться на 1 день меньше. Когда мы дойдём до 23 человек, не совпадать дни рождения будут в 0,4927. Значит в остальных случаях (0,5073) хотя бы у двоих из них дни рождения совпадут. Что интересно, растёт эта вероятность очень быстро. Когда в группе 60 человек, она достигает уже 0,99.
Мы решили проверить этот парадокс в нашей школе. Таблицу вы можете видеть на слайде. Красным отмечены классы, в которых более 2 совпадений, жёлтым – ровно 2. Всего у нас 37 классов. Из них в 15 дни рождения совпадают у двоих человек, а в 7 – более чем у двоих человек. Значит, вероятность совпадения дней рождения в классах нашей школы составляет примерно 0,68 (22 из 37). Также мы решили проверить группы из 3 классов (более 60 человек) и в каждой группе дни рождения совпадали у двоих, 4, а то и у 6 человек.
Конечно, в наших классах не ровно 23 человека, поэтому мы решили проверить составы команд сборных Чемпионата мира по футболу 2018 года. Там в каждой команде ровно по 23 человека. Из 32 команд в 12 дни рождения совпадают у двоих человек, а в 6 – более чем у двоих человек. Таким образом, вероятность равна примерно пятидесяти шести сотым (18 из 32).
Парадокс Монти Холла.
Парадокс назван в честь ведущего популярной американской телепередачи 2-ой половины 20-ого века. Передача называется «Let's make a deal», что переводится как «Давайте заключим сделку».
Эта задача звучит так: «Представьте, что вы участник игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной дверью находится автомобиль, за двумя другими — козы. Допустим, вы выбираете дверь номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 2, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — хотите ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 3? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»
Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы — менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.
Для начала давайте вернёмся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ — соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей — коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой — с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.
Статистика показывает, что игроки, изменившие свой выбор на другую дверь, выигрывали автомобиль чаще, чем те, кто предпочёл открыть первоначальную дверь. Также этот парадокс описывается в фильме «Двадцать одно».
Ещё более наглядной ситуация становится, если представить, что дверей не 3, а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и ещё одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверями различны, и не равны ½. Вероятность того, что автомобиль находится за изначально выбранной дверью, равно 1/1000, а за другой – 999/1000. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения соответственно 2⁄3, а не 999⁄1000.
Результаты
В ходе моей исследовательской работы я расширила свои знания по математической статистике, что позволило мне реально оценить происходящие события. Также я проверила гипотезу о днях рождения на статистических данных по нашей школе и ещё раз подтвердила её на данных составов команд, участвующих в Чемпионате Мира по футболу 2018 года. Я выяснила, что теория вероятностей позволяет выявить закономерности возникновения вероятностных событий в повседневной жизни; проверила и подтвердила гипотезу. Цель достигнута, задачи выполнены. В дальнейшем я продолжу работу по данной теме.
Выводы
Во время работы над проектом, я увидела, насколько широко применяется теория вероятности и как она влияет на нашу жизнь. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», а также при подготовке к итоговой аттестации.
Список используемых источников
1. Скороход, А. В. Вероятность вокруг нас / А. В. Скороход // Советский математик. – 1980. – С. 1
2. Балдин, К. В. Теория вероятностей и математическая статика / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев // – 2009. – С. 9
3. Денежкина, И. Е. Теория вероятностей и математическая статика в вопросах и задачах / И. Е. Денежкина, С. Е. Степанов, И. И. Цыганок // – 2019. – С. 13
Приложение.
9