Теория игр. Моделирование выигрышных стратегий

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Теория игр. Моделирование выигрышных стратегий

Рассолов Т.О. 1
1Государственное казённое общеобразовательное учреждение Калужской области «Областной центр образования»
Моисеева В.Б. 1
1Государственное казённое общеобразовательное учреждение Калужской области "Областной центр образования"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Правила игры надо знать,

но лучше устанавливать их самому.

Анджей Сток

Введение

Я увлекаюсь шахматами, играю на сайте, езжу на соревнования, и занимаюсь в шахматном клубе. Однажды, во время своей партии, я подумал: можно ли сесть за доску и сразу быть уверенным, что ты выиграешь? Оказалось, можно! Но очень трудно. Зато в эндшпиле или когда есть хотя бы маловероятная угроза мата, легко.

Трудно предугадать исход игры с самого начала потому, что число разных шахматных партий 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(вигинтиллион). Это самое большое число в мире. Такое название признано только в Великобритании, Испании и Германии. А в остальных странах просто говорят 10 в 120-ой степени. Даже число атомов во Вселенной в 10000000000000000000000000000000000000000 раз меньше.

Самый мощный компьютер не способен рассмотреть все позиции. И если он не сломается, то ему понадобится около 73 лет. И все эти варианты зависят от соперника. Ведь в самой короткой партии может быть ни одного хода, а самая долгая партия может длиться 5949 ходов.

Но шахматы не одна игра, в которой для победы надо уметь выстраивать стратегию. Есть другие виды игр на стратегию, например: игры-шутки; игры на симметрию; игры на выигрышные и проигрышные позиции.

Актуальность темы моей работы определяется тем, что в настоящее время человек ежедневно сталкивается с выбором стратегии в своей жизни. Они играют большую роль для достижения результатов в разных сферах жизни: политологии; конфликтологии; юриспруденции; биологии; военном деле; экономике и др.

Гипотеза:существуют типы математических задач, эффективно решаемых методами теории игр.

Цель: поиск задач, решаемых с помощью выигрышных стратегий.

Задачи работы:

1) понять, что такое теория игр, и каковы её элементы;

2) познакомиться с историей возникновения этой теории;

3) Понять, как применить теорию игр в жизни.

Новизна: на сегодняшний день существуют работы, посвященные теории игр.

Древние математические забавы-игры «Игра Баше», «Цзяньшидзы» и «Ним»  «теория которых разработана с исчерпывающей полнотой» ([5], стр.59).

«Задача о ферзях» ([5], стр.100) подробно описана в теории и для n=8 доказательно имеет 92 решения.
Задача заполнения шахматного поля ходом коня ([5], стр.104) рассматривается для поля nхn, и для поля mхn. Однако в литературе эта задача имеет только одну вариацию для урезанного поля 9х9 без углов ([3], стр.20), а значит, может иметь неисследованные начальные условия.

Таким образом, основные задачи теории игр могут иметь различные вариации, с многообразием условий и решений, а значит, степень разработанности проблемы можно определить как недостаточную.

Объект изучения: выигрышные стратегии.

Предмет изучения: математические игры.

Методы исследования: анализ источников информации, классификация, обобщение, варьирование.

Использованные средства: Справочная литература, математическая литература, Интернет, анкетирование [приложение 4].

Сроки исполнения: сентябрь 2019 г. – март 2020 г.

Глава I. Введение в теорию игр.

История возникновения игр

История вопроса подробно освещена на страницах современных изданий, например: Доморяд, А.П. Математические игры и развлечения / А.П. Доморяд. – М: Гос. издание Физико-математической литературы, 1961. – 267с., [5] а также на сайте  http://hleb.asia/brain/hobbygames.

О первых признаках межплеменных тактических игр говорят наскальные рисунки.

Самой древней игрой считается Сенет [3]. Развлечение было популярно еще 4000 лет до нашей эры, в Древнем Египте, и по своим правилам напоминало шашки. Три тысячи лет до нашей эры были изобретены знаменитые нарды. Непрекращающиеся войны в XII в. до н.э. повлияли на тематику игр. Появились игры – военные стратегии. Самой красивой и узнаваемой игрой, которая появилась в Древнем Египте, считается игра «58 дырочек». Игра состоит из множества компонентов и поля, похожего на поле шахмат. Поле называлось «городом», а фигуры «собаками». Фигуры имели два цвета, и искусство игры состояло в том, чтобы захватывать фишку противника между двумя своими. Игра домино была изобретена примерно в 1120 г. до н.э. и произошла от игральных костей, которые некогда были ввезены из Индии в Китай. Шашки были изобретены французами в XII веке.

На Руси всё началось с бирюлек [10], «Мельницы», – дальней родственницы крестиков-ноликов. Мельница была первой игрой, из алгоритма которой человек сознательно исключил всякий элемент везения: в ней нет игральных костей, палочек и других генераторов случайных чисел, а только разум и расчёт. 

И только в 17 веке впервые о теории игр заговорил французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак. Он придумал игру, которую назвал в честь самого себя: Баше. Правила этой игры заключаются в том, что два игрока берут из кучки с m-предметами не меньше одного и не больше n-предметов. Считается проигравшим тот, кто сможет сделать хода. Его теориями определения выигрышной стратегии пользовался даже Эммануил Ласкер (2-ой чемпион мира по шахматам).

Первые наброски в теории игр появились лишь три столетия назад в работах Бернулли, затем Пуанкаре и Бореля.

Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Работу Дж. Неймана и О.Моргенштерна принято считать моментом рождения теории игр. Многие ученые предсказали революцию в экономических науках после её публикации в 1944 году.

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

В Советском Союзе основные усилия в исследованиях по теории игр были направлены на военные приложения.

В настоящее время профильный институт, занимающийся теорией игр - Институт системного анализа РАН направляет свои усилия на решение задач во многих отраслях экономических и социальных наук, анализа стратегических проблем предприятий, структур управления.(7)

Основные термины и понятия теории игр.

Теория игр получила своё название потому, что простейшим примером конфликта является игра (шахматы, крестики-нолики, морской бой и др.). Математическая теория игр началась с анализа таких игр.

Теория игр - это особый раздел математики, изучающий конфликтные ситуации, анализирующий возникшие конфликты.(8)

Ключевые понятия для нашего исследования:

Теория игр - изложенное математическим языком описание механизмов принятия решений мыслящего индивида (игрока), оказавшегося в смоделированной ситуации(игре).

Конфликт - ситуация, в которой сталкиваются интересы сторон.

Игра - математическая модель описания конфликта, процесс в котором участвуют две или более сторон, ведущих борьбу за осуществление своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию.

Игрок - рациональный индивид, имеющий заинтересованность в исходе игры и возможности воздействовать на него.

Стратегический ход - определенное целенаправленное действие, рассчитанное на некую ожидаемую реакцию другого человека.

Характеризующие признаки игры как математической модели:

1. наличие нескольких участников;

2. неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;

3. различие (несовпадение) интересов участников;

4. взаимосвязанность поведения участников, т.к. результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

5. наличие правил поведения, известных всем участникам.

1.3. Методы решения игровых задач

Для решения игровой задачи нужно уметь правильно записать его.

Итак, если выиграет первый, тогда в решении игровой задачи нужно записать:

его первый ход;

алгоритм его ходов в ответ на каждый ход соперника, т. е. стра­тегию победы;

показать, что у него найдется независимо от хода соперника возможность сделать ход, т. е. его последний ход будет победным.

Если же выиграет второй, тогда в решение нужно записать:

алгоритм его ходов в ответ на каждый ход соперника, т. е. стра­тегию победы;

показать, что у него найдется независимо от хода соперника возможность сделать ход.

Иногда, бывает нужно записать еще и последний ход, который мо­жет не вписываться в общую стратегию.

В своей работе я рассмотрел следующие идеи стратегий:

а) Игры, использующие симметрию

Суть метода симметричной стратегии - делать каждый раз ход, симметричный ходу противника или дополняющий его до чего-либо. Доказательство правильности нашей стратегии будет пользоваться тем, что после каждого нашего хода позиция симметрична: раз так, то если противник сумел сделать свой ход, то и мы сможем сделать ход, симметричный ему. Неправильно думать что симметрии - стратегия только для второго игрока. Если исходная позиция - несимметрична, то обычно первый игрок может ее как-то сделать симметричной, а потом играть по симметрии, отвечая на ходы второго.

Задача 1: Соты имеют форму квадрата 9×9. Все квадратики, кроме центрального, заполнены мёдом. В центре — дёготь. За один ход разрешено разломить соты вдоль любой вертикальной или г оризонтальной линии и съесть ту часть, где нет дёгтя. Проигрывает тот, кому остался только дёготь. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ.Выигрышная стратегия есть у второго игрока.

Решение.Для победы второму игроку достаточно совершать ходы, симметричные ходам соперника относительно центра квадрата.

 
 

б) Игры, в которых стратегия — дополнение до фиксированного числа

Суть метода - дополнение хода соперника до некоторого фиксированного числа, уменьшая каждым «совместным» ходом общее число элементов на некоторое постоянное число, что сводит игру к игре с меньшим числом элементов, т. е. более простой. Победа в данной стратегии зависит от общего количества данных по условию элементов.

Задача 2:На столе лежат 15 карандашей. Двое берут по очереди один, два или три карандаша. Проигрывает тот, кому достанется взять последний карандаш. Как должен играть начинающий, чтобы заставить своего противника взять последний карандаш?

Ответ. Выигрышная стратегия есть у первого игрока.

Решение: Остаток от деления числа 15 на 3 + 1 = 4 равен 3. Начинающему надо, добиться того, чтобы последний карандаш взял противник, поэтому первым ходом он должен взять не 3 карандаша (остаток от деления), а 2 (1 карандаш – противнику!) Затем каждым последующим ходом будет дополнять количество карандашей, взятых вторым игроком, до 4.

После первого хода 1 -го игрока на столе останется 13 карандашей, после второго хода — 9, после третьего — 5, после четвертого — 1. Следовательно, последний карандаш берет второй игрок.

в) Метод выигрышных позиций

Основные свойства позиций таковы:
1)каждая позиция - либо выигрышная, либо проигрышная;
2)из выигрышной позиции можно пойти только на проигрышную;
3) из любой проигрышной позиции можно пойти на выигрышную.

Задача 3: Имеются две кучки конфет: в одной — 20, в другой — 21. За ход нужно съесть все конфеты в одной из кучек, а вторую разделить на две необязательно равные кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Ответ: если в каждой из кучек нечетное число конфет, тогда позиция выигрышная для второго.

Если хотя бы в одной из кучек четное число конфет, то такая позиция выигрышная для первого.

Стратегия победителя заключается в том, что он делает ход на «вы­игрышные» поля. Так как первый может сделать ход на «выигрышное» поле, а хода с одного «выигрышного» поля на другое нет, и с любого «проигрышного» поля за один ход можно попасть на «выигрышное», то побеждает начинающий. Своим первым ходом он может съест куч­ку из 21 конфеты, а кучу с 20 конфетами разделить на две, в которых нечетное количество конфет в обеих кучках (например, 19 и 1). За­метим, что последняя позиция, когда две кучки, по одной конфете в каждой, выигрышная, т. е. последний ход сделает первый.

г) Игры-шутки

Самый первый и простой класс игр - игры-шутки, в которых, на самом деле, нет никакой стратегии! Просто... как бы кто ни ходил, либо всегда выиграет первый игрок (тот, кто начинает игру), либо всегда второй.

Задача 4: Двое по очереди ломают шоколадку 5x8. За ход можно разломать любой кусок по прямой линии между дольками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход
Решение: Что значит, что игра закончилась? Конечно, что шоколадка уже вся разломана на отдельные дольки. Долек всегда будет 5x8=40 штук, а шоколадка в начале была одна. Заметим, что на каждом ходу один кусок шоколадки всегда разламывается на 2, т.е. количество различных кусков шоколадки увеличивается на 1. В начале это кол-во было равно 1, а в конце, как мы заметили, 40. Значит, игра продолжалась ровно 39 ходов . Поэтому последний (39-й) ход был обязательно ходом первого (его ходы - первый, третий и все с нечетными номерами) - и первый выиграл.
Вот такая получилась шутка - как ни ходи, первый всегда выигрывает ;

Найденные и проанализированные нами примеры позволяют сделать следующий

вывод:Теория игр-раздел математики, предметом которого является анализ принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Возникнув из задач классической теории вероятностей, теория игр превратилась в самостоятельный раздел в 1945–1955. Таким образом, теория игр – один из новейших разделов математики.

Глава II. Стратегические решения простейших задач теории игр.

2.1.Описание исследования

Для подтверждения выдвинутой гипотезы нами было проведено исследование. В ходе исследования использовались следующие методы:

- Изучение библиографии. На этом этапе при изучении литературы мы искали математические задачи по теории игр и классифицировали их по определенным признакам. (Приложение 5). Кроме того, еще раз убедились, что все игры в той или иной степени являются учебными, развивают мыслительные способности игроков.

-Метод проб и ошибок.  Стихийный способ выработки выигрышных стратегий в проблемных ситуациях, когда неуспешные пути решения проблемы отбрасываются, а успешные закрепляются.

-Варьирование.Метод варьирования состоит в проигрывании различных вариантов игр, проведенных мною с частичным изменением условий (Петя и Ваня, гомоку, шахматы). Пытаясь поставить себя на место лидера или аутсайдера, мы искали выходы из сложившейся на поле позиции. Самым важным в этой работе был поиск возможной выигрышной стратегии.

-Проектирование. Создание собственной задачи, эффективно решаемой с помощью выигрышной стратегии. ( Приложение 6)

-Анкетирование.Выяснялось мнение респондентов различных возрастных групп об эффективности применения теории игр в повседневной жизни. Результаты анкетирования представлены в диаграммах. (Приложение 4)

2.2. Метод проб и ошибок. Игра «Петя и Ваня».

Методом проб и ошибок была проработана задача нахождения выигрышной стратегии в игре «Петя и Ваня». В ходе игры осуществлялся стихийный поиск наиболее эффективного пути к победе.

Перед двумя игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза.(6) Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.

Эта задача – игра на выигрышные и проигрышные позиции. А метод, которым я пользовался для ее решения – выигрыш доказывается «с конца». Дерево решений этой игры представлено в Приложении 1.

Метод варьирования. Игра «Гомоку» , шахматы .

Методом варьирования решалась задача поиска выигрышной стратегии в игре «гомоку»

Гомоку- японская игра. Поле 19х19 или 15х15 клеток. На пересечении клеток два игрока по очереди ставят фишки своего цвета. Выигрывает тот, кто составит непрерывный ряд (фишки можно расставлять по горизонтали, вертикали и диагонали) из своего цвета фишек. Если доска заполнена, и никто не выиграл, то объявляется ничья. А если один игрок построит ряд из более пяти фишек, то либо это запрещено, либо не приносит победу.

Вариативная игра - Шесть в ряд: идет на бесконечном поле, либо на листе бумаги в клетку, либо на гобане. Фолов нет. Построение длинного ряда (6 и более фигур) приносит победу. (Приложение 2)

Вариативное изменение игры заключается в игре на бесконечном поле, а не на фиксированном, и построение ряда из 6 фигур( в классической игре – 5 фигур).

Шахматы

Одна из самых загадочных и интересных игр для двух участников. Залогом успеха этой игры является то, что она не имеет известного на данный момент выигрышного алгоритма. Это связано с тем, что правила шахмат достаточно сложны – существует 6 видов фигур, количество фигур одного вида различно, а, кроме того, у каждой фигуры свои правила хода. Таким образом, сформулировать простой алгоритм выигрыша в шахматы на данный момент не удалось.

С другой стороны, как только это произойдет, шахматы перестанут быть столь привлекательной для многих игрой.

Но выигрышную стратегию для каждой конкретной партии предусмотреть можно.

Шахматная задача 1. [приложение 3] Эту задачу нужно решить именно в 21 ход. Моя выигрышная стратегия представлена в Приложении 3. Я считаю, что ходы черных самые правильные в этой ситуации.

Шахматная задача 2. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладьи, уменьшается на единицу. Поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный, ход будет сделан вторым игроком. Здесь инвариант - уменьшение количества вертикалей и горизонталей на 1 после каждого хода.

Метод проектирования. Игра «Фигуры».

Методом проектирования мною создана игра «Фигуры». В игре участвуют двое. Ходом считается прорисовка на клеточном поле одной или двух меток: горизонтальной стороны клетки, вертикальной или диагонали клетки. Задача игрока – раньше соперника нарисовать заранее оговоренную фигуру(бабочка, птица, сердце, волк, ежик, самолет ).

Стратегическое решение в игре «Фигуры».

Подсчитать количество меток в фигуре. Разделить количество меток на группы по

формуле Н:(n+1).Где Н – количество меток в фигуре, n- количество меток в одном ходе.

Если при делении найдено неполное частное и остаток, то первым ходом претендента на

выигрыш будет рисование меток, равное остатку. Если остатка нет, то выбираем второй ход.

Дальнейшие ходы- дополнение каждого хода противника до (n+1) метки. (Приложение 6)

Практическая значимость игры «Фигуры».

Использование игры, как учебного средства для знакомства с геометрическими фигурами, развития логического мышления, организации досуга.

Вывод: Подводя итоги главе 2 необходимо подчеркнуть, что математические задачи-игры с выигрышной стратегией разнообразны.

Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Игровые задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что игровая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.

Глава III. Использование теории игр в практической жизни человека

Теория игр – это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, военном деле (исследование стратегических решений), компьютерных технологиях (работы над искусственным интеллектом, анализ аукционов, проводимых компьютерами в автономном режиме), биологии (исследование поведения животных и теории эволюции), медицине (поиск донора и реципиента почки), чуть реже в других науках: социологии, психологии, этике.(7)

Знание теории игр поможет в признании ошибок планового характера и конфликтных ситуаций. Это утверждение доказывают следующие факты:

3.1. Сталинградская битва в задачах Го

Сражение за Сталинград германские, и советские военачальники считали переломным моментом войны. Как можно рассчитать итог боя, операции? Можно ли перед началом боя быть уверенным в правильности выбранной стратеги? В настоящее время это можно сделать соединив японскую игру Го и военные стратегии. Сталинградскую битву наглядно можно описать Девятым законом Го и стратегией «Защити себя от сильного». Защита от сильного складывается из трех аспектов. Во-первых, не подходи к сильному, не подставляй себя под удар. Во-вторых, борясь с сильным не действуй в лоб. Против сильного противника поможет только стратегия непрямых действий. В-третьих, старайся бороться даже малыми силами. Приложив ум, можно и граммом сдвинуть тонну.(11)

На рисунке показана обстановка, которая сложилась на фронте к середине оборонительного периода Сталинградского сражения (длился с 17 июля по 18 ноября 1942). 6-я армия из группы армий «Б» совместно с 4-й танковой армией из группы армий «А» вышли на подступы к Сталинграду. Оборону в городе держит 62-я армия. Правая граница поля проходит по Волге. Верхняя граница поля условная и проходит по линии обороны Сталинградского фронта

Модель описанной позиции на доске Го

Отдельные стратегические эпизоды борьбы, описанные позициями на доске Го

Особенно ожесточенно такая борьба шла за Мамаев курган, который переходил из рук в руки десятки раз. В итоге немцы старались удерживать юго-западные склоны, а советские войска держали восточные. Вершину кургана уничтожающим огнем обстреливала артиллерия. Закрепиться там было невозможно.

На рисунке белый отряд живет за счет трех Ко. Пока немецкие части безуспешно штурмовали подобную позицию 62-ю армии в городе и изматывали свои дивизии, командование Сталинградским фронтом скрытно накапливало резервы по флангам 6-й армии для контрнаступления в ноябре 1942 года (отмеченные треугольниками камни на правой диаграмме). Не добившись ни на одном из ключевых участков в городе решительного успеха, немцы потеряли лучшие войска в бессмысленных штурмах районов.

Перед советским командованием стояла задача: выстроить неприступную оборону города с опорой на 10 дивизию НКВД в районе Г-образного дома на юге, Мамаев курган в центре и заводской район на севере. Позицию на кургане удерживать любой ценой. Ниже на карте можно рассмотреть три ключевых района обороны города: центральную часть на юге (там обозначена дивизия НКВД), Мамаев курган в центре карты и три завода на севере. Задача решается за счет вовлечения противника в борьбу с жертвами, ослаблением и захватом его камней «штурмовыми группами».

Задача в игре Го решается в два такта. Сначала с помощью жертвы четырех белых камней удается захватить 2 отмеченных черных камня с помощью заброса «штурмовика» 5. Затем жертва двух белых в самом углу гарантирует захват двух черных с треугольниками забросом штурмовиков (камень 9 и затем туда же еще один камень). Принцип решения – изматывающие бои. Черные захватывают участки территории, но получают ослабленные отряды, которые можно захватить в ответ с помощью «штурмовых групп» 5 и 9.

Задача 3 составлена знаменитым японским мастером Го Сэйгеном. Она также как и предыдущая учит изматывать противника с помощью жертвы камней. В первом такте решения белые формируют отряд-жертву (камни 1-5) и строят первый глаз (А). Затем черные захватывают пять белых камней, но в результате борьбы сами становятся слабыми. Постановка 7 отрезает три отмеченных черных камня. Это второй такт, на котором белый отряд формирует второй глаз. Подобной тактики взаимного уничтожения придерживались советские и немецкие войска в районе Мамаева кургана, месяцами атакуя и контратакуя друг друга.(11)

3.2. Вратарь и футболист

Почему люди не всегда говорят правду? Ответ очевиден: это противоречит их интересам. В большинстве случаев интересы людей совпадают с тем, что они говорят друг другу. Но следует помнить, что чем сильнее конфликт, тем меньше можно доверять сказанному.(8) Это утверждение доказывают следующие задачи:

Возьмем вратаря и футболиста, выполняющего штрафной удар. Предположим , что бьющий игрок показывает своими действиями, что о готовится выполнить удар справа. Стоит ли вратарю верить? Нет! Их интересы полностью противоположны. Не стоит думать, что намерения бьющего правда, но не стоит думать, что это ложь. Стоит найти равновесие в игре, проигнорировав действия бьющего игрока.

3.3. Отсутствие сигнала – тоже сигнал

Из рассказа Конан Дойла «Серебряный»:

-Есть ли еще что-нибудь на что мне следовало бы обратить внимание?

-Загадочное ночное происшествие с собакой.

-С собакой? Но с ней ничего не произошло ночью.

-В том-то и загадка, заметил Шерлок Холмс.

В рассказе Конан Дойла «Серебряный» тот факт, что собака не лаяла, означал, что злоумышленник был ей знаком. Если кто-то не подаст тот или иной сигнал, это тоже несет определённую информацию - как правило, негативного характера, но не всегда.

Если другой игрок знает, что у Вас есть возможность предпринять действие, которое засвидетельствует о Вас что-то хорошее, а Вы не подадите этот сигнал, он воспримет его как признак отсутствия этого качества у вас. Вы не придали значения стратегической роли этого действия, что не пойдет вам на пользу.

3.4. Дилемма царя Соломона

Однажды к царю Соломону пришли две женщины, которые спорили о том, кто из них настоящая мать ребёнка. В Библии эта история в Третьей Книге Царств (3:24-28):

И сказал царь: подайте мне меч. И принесли меч царю. И сказал царь: рассеките живое дитя надвое и отдайте половину одной и половину другой. И отвечала та женщина, которой сын был живой, царю, ибо взволновалась вся внутренность её от жалости к сыну своему: о, господин мой! Отдайте ей этого ребёнка живого и не умерщвляйте его. А другая говорила: пусть же не будет ни мне, ни тебе, рубите.

И отвечал царь: отдайте этой живое дитя и не умерщвляйте его; она - его мать.

И услышал весь Израиль о суде, как рассудил царь; и стали бояться царя, ибо увидели, что мудрость Божия в нем, чтобы производить суд.(6)

Заключение.

Изучив теоретическую часть и имея представления о теории игр в целом, мы пришли к выводам:

1)теория игр позволяет просчитать возможные стратегии своих партнеров, что приводит к успеху в деятельности;

2)теория игр может применяться для изучения поведения человека, что используется в политологии, социологии и психологии, военном деле;

3)теория игр – наиболее востребованная и практичная дисциплина, применяемая в бизнесе.

Еще Карл Гаусс – немецкий ученый говорил: «Математика- царица наук». С помощью математики выполняются все расчеты. Например: для полетов в космос расчеты нужны, чтобы знать, сколько топливо потребуется, чтобы достигнуть определенной точки, с какой скоростью должна лететь ракета, чтобы преодолеть силу гравитации и т. д. На математических расчетах основаны выигрышные стратегии теории игр.

В результате проделанной работы, нами выполнены все задачи исследования. Мы выяснили, что такое выигрышная стратегия, изучили теоретическую базу математических игр. Я проверил эффективность выигрышных стратегий в таких классах задач, как: игры-шутки, игры на симметрию, игры на выигрышные и проигрышные стратегии, настольная игра гомоку, настольная игра шахматы, попробовал изменить условия игр и разработать свою выигрышную стратегию своих вариантных задач.

Мы пришли к выводу: в этих играх можно применять выигрышные стратегии. Моя гипотеза подтвердилась. А самое главное, я убеждён в том, что теория игр проникает во все сферы нашей жизни и может помочь в решении любых жизненных задач. Данная теория решений носит исключительно математический характер, формулирует правила, математическую логику, закономерности принятия наиболее оптимального решения. Мне было полезно познакомиться с постулатами этой теории. Я рад, что могу применить полученные знания на практике. Я буду дальше работать над этой темой и узнаю еще игры, в которых можно применить стратегию и выиграть.

Следующее направление моей работы – программирование игры на выигрышную стратегию на компьютере, знакомство с теорией комбинаторных игр, изучение военно-исторических событий и описание их методами игры Го. Материал будет полезен всем, кто увлекается математикой, теорией игр.

Список литературы:

Беллос А. Красота в квадрате. – 2014

Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. — 1986

Германович П.Ю.; Сборник задач по математике на сообразительность. М.: «Учпедгиз», 1960. – 224 с.

Диксит А., Скит С., Рейли-мл. Д. Стратегические игры. – 2015.

Доморяд А.П.; Математические игры и развлечения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 264 с.

Лихтарников Л.М. Задачи мудрецов. М.: Просвещение, 1996

Писарук Н.Н. «Введение в теорию игр»

Дюбин Г.Н.«Введение в прикладную теорию игр»

Шеллинг Т. «Стратегия конфликта».

Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа «Современная математика»

Гришин И., Емельянов М. «Военно-стратегическая игра ГО» .: Синергия, 2019

http://hleb.asia/brain/hobbygames

Приложение1

Стратегия игры «Петя и Ваня»

Приложение 2.

Игра «Гомоку»-«пять в ряд»

Виды игр гомоку

Гомокунарабэ: игра на поле 15х15. Цель – построение пяти фишек. Ни одному из соперников нельзя делать вилку 3х3; каждому игроку дается 35 камней; если черные, использовав свои 35 фишек, не составили пять фишек, то считается, что они проиграли. Очень популярна в Японии как средство проведения досуга.

Международное гомоку: играется по правилам гомоку на доске 15х15 с таким дебютным регламентом: первый ход в центр доски. Второй и третий – куда угодно. После третьего хода (черных), белые имеют право поменять цвет (то есть, стать черными).

Свободное рендзю: другие названия: «Сапроновка», «Гомоку с центральным запретным квадратом», «Про-гомоку» (международное). В Америке этот вид игры называют «Пять в ряд». Игра по правилам гомоку (фолов нет, длинный ряд не приносит победы) на доске 15х15. Дополнительное правило: второй ход черных (третий ход партии) должен быть сделан за пределами центрального квадрата 5х5.

Пента: пять в ряд на доске 19х19. Игра начинается в центре доски. Первым ходит игрок, ставящий белые фишки. Ряд из двух фишек, на конце которого стоят фишки противника снимается с доски и становится «добычей». Второй ход черных делается за пределами центрального квадрата 5х5. Выигрывает тот, кто первым построит ряд в 5 фишек, или первым захватит 5 добыч. Пента – упрощенный вариант игры нинуки-рэндзю, распространенной в Японии в первой половине XX века.

Керио-пента: игра на доске 19х19. Первый ход белых. Игроки ходят по очереди в любое место доски. Ряд из двух или трех фишек, по краям которого стоят фишки противника, становится «добычей» и снимается с поля. Для выигрыша надо составить ряд из пяти фишек, или набрать 15 «добыч».

Каро: Вьетнамский вариант игры, известный также как «Гомоку+». Правила такие же, как и при обычном Гомоку на поле 15х15. Но с одним дополнением: для выигрыша нужно составить ряд из пяти фишек, которого не закрывают с обоих концов фишки противника.

Рэндзю: игра на доске 15х15, но с ограничением для черных: если черные сделают длинный ряд, или вилку 3х3, 4х4, и любые производные от них, то они проиграют (вилки 3×3, которые не приводят к победе, то есть вынуждают чёрных совершить в одной из веток запрещённый ход, являются разрешёнными). Оговариваются в виде дебютного регламента также и правила постановки первых пяти ходов.

Своп: вариант гомоку на поле 15х15, отличающийся только дебютной стадией. В начале игры первый игрок ставит на поле 2 черных и одну белую фишку (без ограничений по установке). Второй игрок выбирает, каким цветом он будет играть.

Своп-два: вариант гомоку на поле 15х15, отличающийся только дебютной стадией. Употребляется в чемпионатах мира и в других, менее значимых соревнованиях с 2009 года. В начале игры первый игрок ставит на поле 2 черных и одну белую фишку (без ограничений по установке). После этого второй игрок имеет три возможности:

Выбрать черный цвет, то есть без постановки фишек передать очередь хода первому.

Выбрать белый цвет, поставить на поле белую фишку и передать ход другому игроку.

Поставить на поле еще по1 черной и белой фишке, предоставляя выбор цвета 1 игроку.

Приложение 3.

Решение шахматной задачи.

1. g4 (этот ход нужен для того, чтобы король мог пройти к своим пешкам на f6 g7. Если белые пойду по другому, то черные походят g3 и будет ничья) 1. ... Крe7

2.  Крxa5 (король ест пешку, чтобы она в будущем не смогла пройти по линии а и превратиться в ферзя) 2. ... Крf8

3.  Крa4 (король идет по наиболее краткой траектории до своих пешек) 2. ... Крe7

4.  Крa3 Крf8

5.  Крa2 Крe7

6.  Крb1 Крf8

7.  Крc1 Крe7

8.  Крd1 Крf8

9.  Крe1 Крe7

10.  Крf1 Крf8

11.  Крg1 Крe7

12.  Крh2 Крf8

13.  Крg3 Крe7

14.  Крxf3 Крf8

15.  Крe4 Крe7

16.  Крd5 Крf8

17.  Крd6 (у короля есть три варианта ходов: съесть пешку на с5, и освобождать свою пешку на с2, потом съесть королем пешку b7, и тогда белые поставят мат еще в 17 ходов. Пойти на d6, на с7 и на b7, чтобы освободить пешки на b6 и b5, но тогда белые поставят мат в 8 ходов. И пойти на d6 и на е7, чтобы подойти к пешке на f7, тогда белые поставят мат в 5 ходов) 17. ... Крg7

18.  Крe7 Крh6

19.  Крxf6 (белые съели пешку потому, что они этим ходом вынуждают черных уйти в небезопасное место. Другие ходы короля будут свободное место черному королю) 19. ... Крh7

20.  f8=Л Крh6

21.  Лh8#

Ходы черных самые правильные в этой ситуации.

Приложение 4.

Слышали ли Вы о математических задачах на выигрышную стратегию?

Знаете ли Вы о истории выигрышных стратегий?

В каких сферах жизни человека применяется выбор стратегии действий?

Можно ли применить теорию выигрышных стратегий математических игр к реальной жизни человека?

Как Вы думаете, сколько существует типов игр на выигрышную стратегию?

Как Вы думаете, применяются ли выигрышные стратегии при игре в шахматы?

Сможете ли Вы решить эту шахматную задачу?

Приложение 5.

Классификация видов игр

 

Приложение 6.

Блок - схема выигрышной стратегии игры «Фигуры»

Фигуры для игры.

Сердце Бабочка

Птица Ежик

Самолет Шорты

22

Просмотров работы: 2918