IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Египетские пирамиды с точки зрения математики
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Африка. Египет. С чем же ассоциируется эта страна? С жарой, морем, верблюдами и конечно же с пирамидами. Что же такое пирамида, обычная ли это фигура?
Под египетскими пирамидами понимаются древние каменные сооружения пирамидной формы, расположенные в Египте. Само слово «пирамида» - греческое, означает многогранник. Прообразом пирамиды, по мнению одних исследователей, стала большая куча пшеницы. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы.
Количество египетских пирамид, варьируется от 118 до 138. Большая часть пирамид была построена в качестве усыпальниц для египетских фараонов Древнего и Среднего царств.
Пирамиды уже в древности считались одним из семи «чудес света». Само их существование, тайна возникновения и предназначения в течение тысячелетий будоражили воображение лучших человеческих умов. Пирамиды вызывают любопытство и восхищение. Они стали интеллектуальным вызовом человечеству и демонстрацией его бессилия в раскрытии тайн этих гигантских сооружений. Пирамиды до сегодняшнего дня — тайны в третьей степени. Раскрытию этих тайн многие ученые посвятили всю свою жизнь. Однако на протяжении тысячелетий, начиная с Геродота, посетившего Египет еще до рубежа новой эры, и до нашего времени, эти тайны не поддаются расшифровке.
Египетские пирамиды очень интересны с точки зрения математики. Во первых, пирамида - это геометрическая фигура, Во вторых, эта геометрическая фигура соответствует пропорциям золотого сечения. Пирамиды представляют интерес не только математиков. Они интересны также историкам, физикам, астрономам.
Таким образом, целью моей работы является: выяснить и изучить особенности и тайны пирамид с точки зрения математики.
Задачи:
Узнать понятие "пирамида".
Изучить геометрические и астрономические сведения о пирамидах.
Объяснить некоторые тайны и загадки пирамид.
Провести практическую часть.
Сделать соответствующие выводы.
Объект исследования – египетские пирамиды.
Предмет исследования – математические характеристики египетских пирамид.
Методы изучения:
Теоретический – метод изучения теоретического материала.
Исследовательский – метод научного познания.
Рефлексии – метод погружения в себя и самопознание.
Описания – метод исчерпывающего представления предмета.
Гипотезы:
1. Египетские пирамиды представляют интерес не только для историков, но и для математиков. Они заключают в себе много спорных и необъяснимых фактов.
2. Все египетские пирамиды являются правильными.
Ученые и исследователи на протяжении столетий изучают и пытаются разгадать тайны грандиозных египетских сооружений. Интерес к изучению пирамид не ослаб и в наши дни. Помимо исторических и культурных задач, современных ученых интересуют и чисто практические вопросы, такие как точность вычислений строителей пирамид, их астрономические знания, технологии строительства и обработки камня, измерительная техника и многое другое. Все эти достижения древних строителей поразительны с точки зрения современной науки, а многие недоступны даже в наши дни.
Глава 1. История египетских пирамид
В период первых египетских правителей появляются специальные «дома после жизни» - мастабы - погребальные здания, состоявшие из подземной погребальной камеры и каменного сооружения над поверхностью земли. Сам термин относится уже к арабскому времени и связан с тем, что форма этих похожих в разрезе на трапецию гробниц напоминала арабам большие скамьи, называвшиеся «мастаба».
Мастабы строили для себя и первые фараоны. Древнейшие царские мастабы, относящиеся к временам I династии, сооружались из адобов — необожжённых кирпичей из глины или речного ила. Их строили в Нагаде (Абидос) в Верхнем Египте, а также в Саккаре, где находился главный некрополь Мемфиса, столицы правителей первых династий. В наземной части этих построек находились молельни и помещения с погребальным инвентарем, а в подземной — собственно погребальные камеры.
Можно выделить три самые большие пирамиды Египта. Под номером один стоит Пирамида Хеопса — построенная для фараона Хеопса. Самая большая из пирамид Египта по праву заслуживает место среди чудес света. Прошло 4500 лет со времени её создания, а она по-прежнему производит неизгладимое впечатление на туристов. Пирамида предназначалась для погребения фараона Хеопса, который царствовал с 2551 по 2528 г. до н. э. Её высота 137,2 м (первоначально 146,6 м ), ширина 230,5 м. Подсчитали, что для постройки этой пирамиды понадобилось 2,3 млн. каменных блоков.
Вторая по величине древнеегипетская пирамида - это Пирамида Хефрена - расположенная рядом со Сфинксом. Построенное в сер. XXVI в. до н. э. сооружение (215,3 × 215,3 м и высота 143,9 м) получило название Урт-Хафра («Хафра Великий» или «Почитаемый Хафра»).
Розовая пирамида — северная пирамида фараона Снофру в Дахшуре, на момент своего строительства в XXVI в. до н. э. была самым высоким сооружением на Земле. По размерам уступает только двум египетским пирамидам в Гизе — пирамиде Хеопса и пирамиде Хефрена. Историческое значение Розовой пирамиды состоит в том, что это первая царская усыпальница правильной пирамидальной формы. Хотя «розовая» усыпальница и считается первой «истинной» пирамидой, ей присущ чрезвычайно низкий наклон стен (только 43°36'; основание 218,5 × 221,5 м при высоте 104,4 м.). Название связано с тем, что известняковые блоки, из которых сложена пирамида, приобретают в лучах заходящего солнца розовый цвет. Вход находится на северной стороне и ведёт в три смежные камеры, доступные для посещения. Эта пирамида приписывается Снофру оттого, что на нескольких блоках обшивки красной краской начертано его имя.
Древнейшие из известных пирамид находятся в Саккаре. Самой древней считается пирамида Джосера, построенная архитектором Имхотепом в период с 2667 по 2648 гг. до н. э.
Самые известные пирамиды находятся на окраине Каира в Гизе. Гиза расположена на западном берегу Нила, в нескольких километрах от Мемфиса, в то время столицы Египта. Известняковое плато, на котором стоит город, давало часть необходимых для постройки блоков. А благодаря каналу корабли могли подходить прямо к подножию стройки и доставлять туда гранитные плиты, извлечённые из карьеров Асуана, которые находились в 1000 км от Гизы.
Пирамида Какаура Иби I в Саккара высотой приблизительно 21 м была самой маленькой царской пирамидой в Египте, к тому же она была построена из плохо обработанных каменных блоков и так поспешно и небрежно, что сейчас мало чем уже напоминает пирамиду, и больше похожа на песчаный кратер, возвышающийся не более чем на 3 м. Нельзя разобраться и в обломках примыкающих к ней построек из необожжённого кирпича.
Глава 2. Пирамиды с точки зрения математики
2.1 Геометрические сведения
Пирамида — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.
Элементы пирамиды:
апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
боковые грани – треугольники, сходящиеся в вершине;
боковые ребра – общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота – отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Виды пирамид:
Прямоугольная пирамида
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Тетраэдр
Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центре основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
боковые рёбра равны;
все боковые грани - равные равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему;
апофемы равны;
все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы;
все высоты боковых граней равны между собой.
2.2 Астрономические сведения
Все пирамиды Египта, известные научному миру, строго ориентированы по сторонам света. В Гизе Великие Пирамиды ориентированы так: каждая из четырех сторон квадратного основания «смотрит» соответственно на север, восток, юг, запад. По одной из версий-легенд «...задолго до царства фараонов территория Египта была поделена атлантами на четыре части. Река Нил разграничивала восточную и западную части. На востоке, обращенном к восходу Солнца и символизирующем жизнь, жили предки египтян — атланты, принадлежащие к белой расе, А западный берег был отдан потустороннему миру, здесь никто не селился. Кроме того, выделялись северная часть, обращенная в сторону единой прародины атлантов, и южная часть, населенная черной расой атлантов. По мнению известного исследователя В. С. Смирнова, подобное деление на четыре части как бы образует четыре квадрата, или фигуру языческого креста. Такой крест и вписан, по его мнению, в квадрат основания пирамиды Хеопса, являясь как бы увековеченным символом мироздания»
По мнению директора Буржской обсерватории, архитекторы Великой Пирамиды знали многое, что сумели воплотить в камне: и продолжительность високосного года, и расстояние, которое Земля проходит по своей орбите за 24 часа, и плотность вещества Земли, а также среднюю температуру нашей планеты, поскольку тепловая единица Великой Пирамиды равна значению средней температуры поверхности Земли.
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий — 2, Венера — 3, Земля — 4, Марс — 5, Юпитер — 6, Сатурн — 7, Уран — 8, Нептун — 9, Плутон — 10, то 3 — это Венера, 6 — Юпитер и 5 — Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 — это Солнце, а 4 — Земля. Число 14 вообще имеет глобальное значение. На числе 14, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев, каждой из которых тоже 14.
Великая пирамида и сходная по размеру пирамида Хефрена занимают место двух самых ярких звезд пояса Ориона, Аль-Нитак и Аль-Нилам, а меньшая пирамида Менкаура смещена от оси двух соседских, совсем как третья и самая маленькая звезда пояса – Минтака.
2.3 Невероятные сведения о пирамидах
Почву, на которой собирались строить пирамиду, выровняли с помощью специально разработанной системы пересекающихся каналов, вырытых на месте основания пирамиды и заполненных водой. По отметкам её уровня регулировалась горизонтальность поверхности. Точность была очень высокой, поскольку колебания уровня поверхности не превышали 2 см по всему периметру.
Во всех деталях Великой пирамиды сохранены совершенные (золотые) пропорции. Степень точности соотношений кажется невероятной, если учесть размеры всего сооружения. Это нельзя объяснить простой случайностью. Например, постоянная величина π, которую искали столько веков, материализована, если можно так выразиться, в Великой пирамиде. Сложив длину сторон основания памятника, первоначальная длина которых была 232,805 м, получаем периметр пирамиды, равный 931,22 м . Разделим теперь длину периметра на удвоенную высоту пирамиды, достигавшую в эпоху ее сооружения 148,208 м , и в итоге получим число π. Действительно: 931,22 / (2 × 148,208) = 3,1416.
Главное правило устойчивости конструкции – уменьшение её массы по мере увеличения высоты над землёй – выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией.
Строители пирамиды. Вопреки распространённому мнению пирамиду возводили не рабы, а ремесленники-каменотёсы и крестьяне. Они приходили на стройку во время разлива Нила, когда поля были залиты водой. Фараон обеспечивал им кров и пищу, жили они в специально выстроенной для них деревне. Считается, что на строительстве пирамиды было занято от 20 до 30 тыс. рабочих.
Техника строителей. У египетских каменотёсов выбор инструментов был небольшой. Предполагают, что, для того чтобы вырубить каменную глыбу, они проделывали в скале дыры, вставляли в них деревянные бруски, которые щедро пропитывали водой, пока они не разбухнут. Так скала растрескивалась на несколько блоков. Затем, используя линейки, угольники и свинцовую проволоку, каменотёсы обтачивали блоки с такой точностью, что они полностью совпадали. Между ними не проходило и тонкое лезвия ножа.
Как поднимали каменные глыбы? Это до сих пор остаётся тайной. Египтянам не были известны подъёмные краны, поэтому им приходилось тянуть камни наверх вручную. Археологи считают, что они ставили камни на полозья или на круглые обрубки дерева, по которым тянули их по пандусу из кирпичей, сделанных из нильского ила. Возможно также, что они смачивали землю водой, чтобы облегчить скольжение. Пандус поднимался всё выше, становясь длиннее по мере продвижения строительства. По окончании работ его разрушали.
Согласно подсчётам, Великая пирамида Гизы состоит из 2 300 000 каменных блоков, которые весят от 2 до 30 тонн, а некоторые из них даже достигают веса более чем в 50 тонн.
До тех пор пока в Англии не был построен Линкольнский собор Девы Марии (Lincoln Cathedral) в 1311 году, Великая пирамида Гизы удерживала титул самого высокого строения в мире, созданного руками человека. Она удерживала рекорд как минимум 3871 год!
В 12 веке была предпринята попытка уничтожить пирамиды Гизы. Аль-Азис, курдский правитель и второй султан династии Айюбидов, попытался снести их, но ему пришлось сдаться, так как эта задача была слишком широкомасштабной. Тем не менее, ему удалось повредить Пирамиду Микерина, где из-за его попыток вертикальная зияющая дыра осталась в её северном склоне.
Глава 3. Практическая часть
Все египетские пирамиды с точки зрения геометрии являются правильными пирамидами.
Докажем на примере пирамиды Хеопса, что она правильная пирамида. Во первых пирамида Хеопса правильная, потому что ее основанием является правильный многоугольник. А правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.
Во вторых, по свойству площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Площадь боковых поверхностей пирамиды (изначально): ≈ 85 500 м2
Периметр основания: 92 м
Апофема ≈ 185,5 м.
Следовательно, 920*185,5=171031/2=85 515 (учитывая ≈ 85 500)
В третьих, ребрами правильной пирамиды являются равнобедренные треугольники. Поскольку длина боковых рёбер пирамиды Хеопса одинаковая. На данный момент около 225 метров.
Длина сторон основания пирамиды: юг — 230,454 м; север — 230,253 м; запад — 230,357 м; восток — 230,394 м.
Таким образом, я доказала что Великая пирамида - правильная пирамида.
Чтобы наглядно показать свойства правильной пирамиды я решила в качестве практической части к моему проекту сделать макет правильной пирамиды и на основе её параметров доказать то, что она правильная.
Параметры моего макета:
- апофема 11 см;
- боковые грани 12 см;
- длина стороны основания пирамиды 10 см (Р=40см);
- площадь одной грани 55 кв. см. (площадь всех граней 220 кв. см.).
Доказательство:
Во первых, в основании пирамиды лежит квадрат, а это правильный многоугольник.
Во вторых, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему, то есть (40 см.*11):2=220 кв. см., что соответствует свойству.
Поскольку, все боковые грани равны 12 см, и все стороны основания равны 10 см, то все боковые грани моей пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. Что соответствует одному из свойств правильной пирамиды.
Другое свойство правильной пирамиды гласит, что все апофемы равны. В моей пирамиде все апофемы равны.
Таким образом, изготовленный мной проект пирамиды, является проектом правильной пирамиды.
Заключение
Неразгаданных тайн на нашей планете с каждым годом становится все меньше. Постоянное совершенствование техники, сотрудничество ученых различных областей наук раскрывает нам секреты и загадки истории. Но большинство тайн пирамид до сих пор не поддаются пониманию – все открытия дают ученым лишь предположительные ответы на многие вопросы. Кто строил египетские пирамиды, какова была технология строительства, существует ли проклятие фараонов – эти и многие другие вопросы до сих пор остаются без точного ответа.
Пирамиды занимают в истории и культуре Египта особое место. Они являются самыми ценными и загадочными памятниками современности. Без них культура Египта была бы неполной и не такой особенной, ведь Египет знаменит во многом благодаря пирамидам. Именно поэтому изучать их очень важно. Первоначально эти величественные сооружения были малы и назывались мастабами, но с временем их стали строить всё больше и больше и они достигли таких размеров, что одна из них на протяжении почти 4000 лет была самым высоким построением в мире. Также со временем пирамиды превратились из простых гробниц в огромные сооружения, ставшие главным достоянием Египта. Но пирамиды интересны и загадочны не только с точки зрения истории, но и с точки зрения математики и я доказала это в своей работе, изучив теорию и проведя практическую часть. Также с помощью практической части я доказала, что все пирамиды правильные. В результате я выяснила, что пирамида интересная геометрическая фигура.
"Всё на свете страшится времени, а время страшится пирамид" так гласит знаменитая арабская пословица, а ведь это совершенно верно пирамиды всегда будут считаться сооружениями для которых не подвластно время, ведь они существуют уже очень долго.
В результате моей исследовательской работы я выполнила поставленную цель и задачи.
Список используемой литературы
Бабанин В. П. Тайны великих пирамид. Серия "Мир культуры, истории и философии". Спб.: Издательство "Лань", 1999. 512 с.
Вержбицкий А.Ф. Пирамидальные антенны Земли. Ч.1. Назначение и принцип действия/ А.Ф. Вержбицкий. - СПб, 2006. - 128 с.
Нейхард А.А., Шишова И.А. Семь чудес света. - М.: Наука, 1966
Турскова Т. Великие сооружения древнего мира. – М.: РИПОЛ КЛАССИК, 2002. – 416 с.
Ионина И.А. Сто великих чудес. - М.: Вече, 2000.
Путешествие в Древний мир, Древний Египет, М.: ООО Торговый Дом «Издательство Мир книги», 2007.
16