IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Вписанные и описанные многоугольники
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.»
А. С. Пушкин
В учебниках геометрии 8-9 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.
Данное исследование направлено на изготовление небольших памяток, которые будут содержать несколько наиболее распространённых (имеются в школьных учебниках) и малораспространённых (дополнительная литература) формул по данному разделу геометрии. Памятки послужат справочным материалом для учащихся 9-11 классов.
Введение
Вписанные и описанные окружности являются неотъемлемой частью геометрии. Данные фигуры встречаются как в типовых задач, так и в олимпиадных и задачах повышенной сложности.
Проблема
Что представляют собой вписанные и описанные многоугольники
Актуальность проблемы и практическое использование результатов
В учебниках геометрии 8-9 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.
Объект исследования
Вписанные и описанные многоугольники, критерии, их свойства и формулы.
Гипотеза
Предполагаю, что существует больше критериев вписанных и описанных многоугольников, чем тех, которые находятся в учебниках по геометрии.
Описание метода. Этапы проведения исследования
Выбор темы, формулировка проблемы.
Изучение теоретического материала о вписанных и описанных многоугольниках.
Поиск ранее проведенных исследований на данную тему.
Выбор объектов исследования (математических задач) и методов решения проблемы.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Цель работы
Найти и применить дополнительный материал о вписанных и описанных многоугольниках при решении задач.
Выпустить памятки, с этим материалом.
Методы и приёмы, которые использовались в работе
1.Поисковый метод
а) использование литературы, а также сети Интернет для поиска информации
2.Практический метод
а) решение задач, в основе которых лежат вписанные и описанные многоугольники
3. Анализ данных, полученных в ходе исследований.
Причины использования предлагаемых методов и приёмов
простота
наглядность
точность
актуальность
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Многоугольники
Что же такое многоугольник? Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Прежде всего стоит рассказать о классификации многоугольников. Многоугольники делятся на треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и так далее. Существует и другая классификация: на выпуклые и невыпуклые, но она не так значима для этой исследовательской работы.
Вписанным в окружность многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности (рис. 1). Описанным многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Вписанный многоугольник Описанный многоугольник
Если многоугольник взят произвольно, то в него не всегда можно вписать или около него описать окружность, а значит существуют некоторые правила и критерии, по которым можно вписать или описать многоугольник.
Только многоугольники, соответствующие некоторым правилам – критериям вписанности и описанности, можно описать окружностью или вписать в них окружность.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Треугольники
1.1 В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис треугольника (рис. 3).
ц
Рис. 3
1.2 Вокруг любого треугольника можно описать окружность - её центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам (рис. 4). Иногда говорят еще что окружность описана около треугольника. Это означает тоже самое - все вершины треугольника лежат на окружности.
Рис. 4
1.3 У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри. У тупоугольного – вне треугольника. А у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис. 5). А значит угол, лежащий напротив гипотенузы, опирается на диаметр и является прямым.
Рис. 5
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Рассмотрим равносторонний треугольник.
1.4 Точка пересечения его высот – ортоцентр, а точка пересечения биссектрис – инцентр. В свою очередь ортоцентр – центр описанной окружности, а инцентр – центр вписанной окружности.
Рис. 6
Кроме того, говоря о вписанных окружностях нельзя не сказать о лемме о трезубце.
Если биссектриса к стороне BC пересекает описанную окружность в точке LL, то выполняется равенство: LB=LI=LC=LI(a), где I — инцентр, I(а) — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BCBC.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Четырёхугольник
2.1 Критерии вписанности четырёхугольника:
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°. Угол А + угол С = 180о (рис. 6)
Рис. 8
Чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, нужно, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. (рис. 7)
Рис. 9
Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей f и e(рис. 8) четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан.
Рис. 10
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке (рис. 9)
Рис. 11
2.2 Критерии описанности четырёхугольника:
Выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. (рис. 10)
Рис. 12
Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру р четырёхугольника (рис. 11)
Рис. 13
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
AD + BC = AB + DC
Данная теорема – это следствие из другой теоремы о равных касательных отрезках (касательные, исходящие из одной точки и касающиеся одной окружности равны). Значит всего 4 пары данных равных отрезков. Обе суммы могут быть разложены в суммы этих четырёх длин отрезков. А значит можно сделать вывод, что если верно данное равенство AD + BC = AB + DC, то четырёхугольник описан.
В фактах 2.1 и 2.2 говорилось о критериях, которые распространяются на все четырёхугольники. Рассмотрим некоторые частные их случаи.
2.3 Трапеция
Трапецию можно вписать в окружность только тогда, когда она равнобокая. (рис. 15)
Окружность можно вписать в трапецию только тогда, когда DC+AB=AD+CB. (рис. 14)
Рис. 14 Рис. 15
2.4 Параллелограмм, который не является прямоугольником или квадратом, нельзя вписать в окружность.
В параллелограмм можно вписать окружность при условии, что все его стороны равны – случай квадрата или ромба.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Правильный пятиугольник
Рис.15
Пятиугольник вписать в окружность или описать его можно тогда, когда биссектрисы его сторон пересекаются в одной точке, которая будет являться центром окружностей (рис. 12)
Формулы:
Радиус вписанной окружности:
Радиус описанной окружности:
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Задачи
Задача 1.
При решении данной задачи используется факт 1.3
Докажите, что отличная от B точка пересечения окружностей, построенных на сторонах BA и BC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой AC.
Решение: пусть K – вторая точка пересечения окружностей. ∠AKB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Аналогично ∠CKB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр BC. Таким образом, через точку K к прямой BK проведены две прямые AK и CK, перпендикулярные BK, следовательно, эти прямые либо совпадают, либо параллельны. Но т.к. они имеют общую точку K, то они не могут быть параллельны, то есть они совпадают. Значит, точки A, C и K лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Задача 2.
При решении данной задачи используется факт 2.3
В окружность вписан четырехугольник MNKP, причем S△MNP = S△MKP.
Докажите, что треугольник NOK – равнобедренный, где O – точка пересечения отрезков MK и NP.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: т.к. S△MNP=S△MKP и эти треугольники имеют общее основание MP, то 1/2⋅MP⋅NH1=1/2⋅MP⋅KH2⇒NH1=KH2. Таким образом, точки N и K находятся на одинаковом расстоянии от прямой MP, следовательно, NK∥MP. Таким образом, MNKP – трапеция, вписанная в окружность, а значит она равнобедренная. В данной трапеции △MOP и △NOK являются равнобедренными, что и требовалось доказать. Действительно, вписанные углы ∠NKM и ∠KNP равны, т.к. опираются на равные дуги, следовательно, △NOK – равнобедренный.
Задача 3.
При решении данной задачи используется факт 1.3
Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C прямого угла треугольника ABC, основание H высоты CH и точку K — середину катета BC, если гипотенуза треугольника равна c.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: сразу заметим, что ∠C=90∘ — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если M – точка пересечения окружности с катетом AC, то MK – диаметр. Заметим, что в △CHB HK — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть HK=KC. Таким образом, прямоугольные треугольники MCK и MHK (∠H=90∘, т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, KM – содержит биссектрису ∠CKH, а т.к. △CKH равнобедренный, то и высоту, то есть KM⊥CH. По условию также CH⊥AB, следовательно, MK∥AB. Значит, по теореме Фалеса M – также середина катета AC, то есть MK – средняя линия. Значит, радиус окружности равен R=1/2MK=1/2⋅1/2AB=1/4c.
Ответ: с/4
Задача 4.
При решении данной задачи используется теорема Птолемея.
Четырёхугольник АВСD вписан в окружность, I – центр вписанной окружности треугольника ABD. Найдите наименьшее значение BD, если AI = BC = CD = 2.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: из условия следует равенство дуг BC и CD, значит, биссектриса AI угла ВАD пересекает окружность в точке С. По лемме о трезубце СI = CB = CD = 2. По теореме Птолемея (см. задачу 52468) AD• ВС + AB•CD = AC•BD, то есть 2AD + 2AB = 4BD. Следовательно, BD = ½ (AB + AD) (треугольник АВD, обладающий таким свойством называется разностным). Можно считать, что AB ≥ AD. Проведём окружность с центром С и радиусом 2, которая пересечёт сторону АВ в точке Е. Биссектриса АС угла ВАD является её осью симметрии и осью симметрии угла, значит, точки E и D симметричны относительно АС. Следовательно, АЕ = AD. По теореме о произведении отрезков секущих АЕ• АВ = AI•AF (IF – диаметр построенной окружности). Следовательно, АD•АВ = 2• 6 = 12. По неравенству Коши BD = ½ (AB + AD) ≥ 2. Равенство достигается, если AB = AD. Ответом является 2.
Задача 5.
При решении данной задачи используется факт 2.1.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.
Так как биссектриса острого угла A прямоугольного треугольника ABC не может быть перпендикулярна BC, то биссектриса угла A и серединный перпендикуляр к BC имеют ровно одну общую точку. Пусть N-середина BC. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает меньшую дугу BC в точке L, тогда точка L является серединой этой дуги, ⌣BL = ⌣LC. Но тогда угол BAL равен углу CAL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса угла BAC. Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой угла BAC. Заметим, что угол BCL равен углу CBL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Пусть угол BCL = x. Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому угол ACL + угол ABL = 180°, то есть 40°+2x+90°=180°, откуда x=25°. Так как точки K и L совпадают, угол BCK равен углу BCL и равен 25°.
Задача 7.
При решении данной задачи используется лемма о трезубце.
Дано: точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что ∠AIM = 90°. В каком отношении точка I делит отрезок CW?
Решение: Пусть Ic – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB. Так как AIc ⊥ AI, то IM || AIc, то есть IM – средняя линия треугольника ACIc. По лемме о трезубце W – середина IIc, следовательно, CI = IIc = 2IW. Ответ: 2:1.
Данная задача была на «Всероссийской олимпиаде по геометрии» в 2017 году.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Вывод
В результате данного исследования и анализа критериев вписанности и описанности многоугольников, включающих в себя: треугольники, четырёхугольники и пятиугольники были сделаны выводы о том, что критериев вписанности и описанности многоугольников существует гораздо больше. Также, мы применили данные свойства при решении задач.
Список литературы
Шарыгин Г.И
«Лекции по элементарной геометрии» - 2-е изд., доп. – М.;
Интернет ресурс с задачам - https://oge.sdamgia.ru/
Геометрический кружок МЦНМО, 8-9 класс.
Геометрия 7-9 классы, 8-е изд. – М. : Просвещение, 2018.
19