Вписанные и описанные многоугольники

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вписанные и описанные многоугольники

Кузьмин Н.И. 1
1Забайкальский краевой лицей-интернат
Ульзутуева С.А. 1
1Забайкальский краевой лицей-интернат
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Аннотация

 

«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.»

А. С. Пушкин

В учебниках геометрии 8-9 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.

Данное исследование направлено на изготовление небольших памяток, которые будут содержать несколько наиболее распространённых (имеются в школьных учебниках) и малораспространённых (дополнительная литература) формул по данному разделу геометрии. Памятки послужат справочным материалом для учащихся 9-11 классов.

Введение

Вписанные и описанные окружности являются неотъемлемой частью геометрии. Данные фигуры встречаются как в типовых задач, так и в олимпиадных и задачах повышенной сложности.

Проблема

Что представляют собой вписанные и описанные многоугольники

Актуальность проблемы и практическое использование результатов

В учебниках геометрии 8-9 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.

Объект исследования

Вписанные и описанные многоугольники, критерии, их свойства и формулы.

Гипотеза

Предполагаю, что существует больше критериев вписанных и описанных многоугольников, чем тех, которые находятся в учебниках по геометрии.

Описание метода. Этапы проведения исследования

Выбор темы, формулировка проблемы.

Изучение теоретического материала о вписанных и описанных многоугольниках.

Поиск ранее проведенных исследований на данную тему.

Выбор объектов исследования (математических задач) и методов решения проблемы.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Цель работы

Найти и применить дополнительный материал о вписанных и описанных многоугольниках при решении задач.

Выпустить памятки, с этим материалом.

Методы и приёмы, которые использовались в работе

1.Поисковый метод

а) использование литературы, а также сети Интернет для поиска информации

2.Практический метод

а) решение задач, в основе которых лежат вписанные и описанные многоугольники

3. Анализ данных, полученных в ходе исследований.

Причины использования предлагаемых методов и приёмов

простота

наглядность

точность

актуальность

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Многоугольники

Что же такое многоугольник? Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Прежде всего стоит рассказать о классификации многоугольников. Многоугольники делятся на треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и так далее. Существует и другая классификация: на выпуклые и невыпуклые, но она не так значима для этой исследовательской работы.

Вписанным в окружность многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности (рис. 1). Описанным многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Вписанный многоугольник Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него не всегда можно вписать или около него описать окружность, а значит существуют некоторые правила и критерии, по которым можно вписать или описать многоугольник.

Только многоугольники, соответствующие некоторым правилам – критериям вписанности и описанности, можно описать окружностью или вписать в них окружность.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Треугольники

1.1 В любой треугольник можно вписать окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис треугольника (рис. 3).

ц

Рис. 3

1.2 Вокруг любого треугольника можно описать окружность - её центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам (рис. 4). Иногда говорят еще что окружность описана около треугольника. Это означает тоже самое - все вершины треугольника лежат на окружности.

Рис. 4

1.3 У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри. У тупоугольного – вне треугольника. А у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис. 5). А значит угол, лежащий напротив гипотенузы, опирается на диаметр и является прямым.

Рис. 5

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Рассмотрим равносторонний треугольник.

1.4 Точка пересечения его высот – ортоцентр, а точка пересечения биссектрис – инцентр. В свою очередь ортоцентр – центр описанной окружности, а инцентр – центр вписанной окружности.

Рис. 6

Кроме того, говоря о вписанных окружностях нельзя не сказать о лемме о трезубце.

Если биссектриса к стороне BC пересекает описанную окружность в точке LL, то выполняется равенство: LB=LI=LC=LI(a), где I — инцентр, I(а) — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BCBC.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Четырёхугольник

2.1 Критерии вписанности четырёхугольника:

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°. Угол А + угол С = 180о (рис. 6)

Рис. 8

Чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, нужно, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. (рис. 7)

Рис. 9

Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей f и e(рис. 8) четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан.

Рис. 10

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке (рис. 9)

Рис. 11

2.2 Критерии описанности четырёхугольника:

Выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. (рис. 10)

Рис. 12

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру р четырёхугольника (рис. 11)

Рис. 13

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

AD + BC = AB + DC

Данная теорема – это следствие из другой теоремы о равных касательных отрезках (касательные, исходящие из одной точки и касающиеся одной окружности равны). Значит всего 4 пары данных равных отрезков. Обе суммы могут быть разложены в суммы этих четырёх длин отрезков. А значит можно сделать вывод, что если верно данное равенство AD + BC = AB + DC, то четырёхугольник описан.

В фактах 2.1 и 2.2 говорилось о критериях, которые распространяются на все четырёхугольники. Рассмотрим некоторые частные их случаи.

2.3 Трапеция

Трапецию можно вписать в окружность только тогда, когда она равнобокая. (рис. 15)

Окружность можно вписать в трапецию только тогда, когда DC+AB=AD+CB. (рис. 14)

Рис. 14 Рис. 15

2.4 Параллелограмм, который не является прямоугольником или квадратом, нельзя вписать в окружность.

В параллелограмм можно вписать окружность при условии, что все его стороны равны – случай квадрата или ромба.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Правильный пятиугольник

Рис.15

Пятиугольник вписать в окружность или описать его можно тогда, когда биссектрисы его сторон пересекаются в одной точке, которая будет являться центром окружностей (рис. 12)

Формулы:

Радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности:

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Задачи

Задача 1.

При решении данной задачи используется факт 1.3

Докажите, что отличная от B точка пересечения окружностей, построенных на сторонах BA и BC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой AC.

Решение: пусть K – вторая точка пересечения окружностей.   AKB=90 как вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Аналогично CKB=90 как вписанный угол, опирающийся на диаметр BC. Таким образом, через точку K к прямой BK проведены две прямые AK и CK, перпендикулярные BK, следовательно, эти прямые либо совпадают, либо параллельны. Но т.к. они имеют общую точку K, то они не могут быть параллельны, то есть они совпадают. Значит, точки A, C и K лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Задача 2.

При решении данной задачи используется факт 2.3

В окружность вписан четырехугольник MNKP, причем SMNP = SMKP.

Докажите, что треугольник NOK – равнобедренный, где O – точка пересечения отрезков MK и NP.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: т.к. SMNP=SMKP и эти треугольники имеют общее основание MP, то 1/2MPNH1=1/2MPKH2NH1=KH2. Таким образом, точки N и K находятся на одинаковом расстоянии от прямой MP, следовательно, NKMP. Таким образом, MNKP – трапеция, вписанная в окружность, а значит она равнобедренная. В данной трапеции MOP и NOK являются равнобедренными, что и требовалось доказать.   Действительно, вписанные углы NKM и KNP равны, т.к. опираются на равные дуги, следовательно, NOK – равнобедренный.

Задача 3.

При решении данной задачи используется факт 1.3

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C прямого угла треугольника ABC, основание H высоты CH и точку K — середину катета BC, если гипотенуза треугольника равна c.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: сразу заметим, что C=90 — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если M – точка пересечения окружности с катетом AC, то MK – диаметр.   Заметим, что в CHB HK — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть HK=KC. Таким образом, прямоугольные треугольники MCK и MHK (H=90, т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, KM – содержит биссектрису CKH, а т.к. CKH равнобедренный, то и высоту, то есть KMCH. По условию также CHAB, следовательно, MKAB. Значит, по теореме Фалеса M – также середина катета AC, то есть MK – средняя линия.   Значит, радиус окружности равен R=1/2MK=1/21/2AB=1/4c.

Ответ: с/4

Задача 4.

При решении данной задачи используется теорема Птолемея.

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность, I – центр вписанной окружности треугольника ABD. Найдите наименьшее значение BD, если AI = BC = CD = 2.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Решение: из условия следует равенство дуг BC и CD, значит, биссектриса AI угла ВАD пересекает окружность в точке С. По лемме о трезубце СI = CB = CD = 2. По теореме Птолемея (см. задачу 52468) AD• ВС + AB•CD = AC•BD, то есть 2AD + 2AB = 4BD. Следовательно, BD = ½ (AB + AD) (треугольник АВD, обладающий таким свойством называется разностным). Можно считать, что AB ≥ AD. Проведём окружность с центром С и радиусом 2, которая пересечёт сторону АВ в точке Е. Биссектриса АС угла ВАD является её осью симметрии и осью симметрии угла, значит, точки E и D симметричны относительно АС. Следовательно, АЕ = AD. По теореме о произведении отрезков секущих АЕ• АВ = AI•AF (IF – диаметр построенной окружности). Следовательно, АD•АВ = 2• 6 = 12. По неравенству Коши BD = ½ (AB + AD) ≥ 2. Равенство достигается, если AB = AD. Ответом является 2.

Задача 5.

При решении данной задачи используется факт 2.1.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, проведена биссектриса угла A. Известно, что она пересекает серединный перпендикуляр, проведённый к стороне BC в точке K. Найдите угол BCK, если известно, что угол ACB равен 40°.

Так как биссектриса острого угла A прямоугольного треугольника ABC не может быть перпендикулярна BC, то биссектриса угла A и серединный перпендикуляр к BC имеют ровно одну общую точку. Пусть N-середина BC. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Пусть серединный перпендикуляр к BC пересекает меньшую дугу BC в точке L, тогда точка L является серединой этой дуги, ⌣BL = ⌣LC. Но тогда угол BAL равен углу CAL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, а отсюда AL — биссектриса угла BAC. Но это означает, что точка L совпадает с точкой K, то есть с точкой пересечения серединного перпендикуляра к BC и биссектрисой угла BAC. Заметим, что угол BCL равен углу CBL как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.

Пусть угол BCL = x. Четырехугольник ACLB — вписанный, поэтому угол ACL + угол ABL = 180°, то есть 40°+2x+90°=180°, откуда x=25°. Так как точки K и L совпадают, угол BCK равен углу BCL и равен 25°.

Задача 7.

При решении данной задачи используется лемма о трезубце.

Дано: точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что AIM = 90°. В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Решение: Пусть Ic – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB. Так как  AIc  AI,  то  IM || AIc,  то есть IM – средняя линия треугольника ACIc. По лемме о трезубце W – середина IIc, следовательно, CI = IIc = 2IW. Ответ: 2:1.

Данная задача была на «Всероссийской олимпиаде по геометрии» в 2017 году.

«Вписанные и описанные многоугольники»

Кузьмин Никита Иванович

Российская федерация, город Чита

Забайкальский краевой лицей-интернат

Вывод

В результате данного исследования и анализа критериев вписанности и описанности многоугольников, включающих в себя: треугольники, четырёхугольники и пятиугольники были сделаны выводы о том, что критериев вписанности и описанности многоугольников существует гораздо больше. Также, мы применили данные свойства при решении задач.

Список литературы

Шарыгин Г.И

«Лекции по элементарной геометрии» - 2-е изд., доп. – М.;

Интернет ресурс с задачам - https://oge.sdamgia.ru/

Геометрический кружок МЦНМО, 8-9 класс.

Геометрия 7-9 классы, 8-е изд. – М. : Просвещение, 2018.

19

Просмотров работы: 857