IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование траекторий особых точек треугольника Понселе
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Одной из наиболее сложных и красивых теорем геометрии является поризм Понселе. При определенных условиях следствием данной теоремы может стать треугольник. Как и у любого другого треугольника, у полученного треугольника Понселе существуют замечательные точки. Нахождение геометрического места (ГМТ), которое могут описывать эти точки при изменении треугольника является интересной исследовательской задачей.
Данную задачу предлагает решить А. И. Сгибнев в книге «Исследовательские задачи для начинающих».
Цель: Решить задачу о нахождении ГМТ, которое описывают замечательные точки, при «вращении» треугольника Понселе.
Задачи:
Изучить известные сведения о поризме Понселе и 4 замечательных точках треугольника.
Исследовать с помощью средств компьютерной среды GeoGebra, какие ГМТ описывают замечательные точки треугольника Понселе при продвижении стартовой точки по большей окружности.
Провести анализ полученных данных и сделать выводы.
Сформулировать и доказать полученные в результате экспериментов утверждения.
Объект исследования - треугольник Понселе и его замечательные точки
Предмет исследования - зависимости в их расположении
Гипотеза: все замечательные точки треугольника описывают ГМТ, подобное окружности.
Методы исследования: изучение литературы, моделирование, эксперимент, анализ и синтез.
Теоретическая часть
1.1. Поризм Понселе
П оризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Поризм Понселе был открыт французским математиком Жаном-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии.
Поризм Понселе: пусть окружность β лежит внутри окружности α. Из точки А окружности α проведем касательную к окружности β и отметим вторую точку A1ее пересечения с окружностью α . Из точки A1 снова проведем касательную к окружности β и отметим точку A2 ее пересечения с α. Аналогично получаются точки A3, A4,... Если окажется, что A = An, то для всякой другой точки A окружности α точка An совпадает с A.
Таким образом, при продвижении точки А – стартовой точки - по большей окружности, n-угольник, который образует замкнутая ломаная, будет «вращаться» между двух окружностей.
Согласно теореме Эйлера, если расстояние d между центрами окружностей можно выразить как , где R–радиус большей окружности, а r – меньшей, то данные окружности являются вписанной и описанной для некоторого треугольника. Поэтому, если данное условие выполняется, то замкнутая ломаная примет вид треугольника, который будем называть треугольником Понселе.
1.2.Замечательные точки треугольника, их свойства и теоремы, связанные с ними
Замечательные точки треугольника – точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.
Т еорема: Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром и является центром вписанной в треугольник окружности. Для треугольника любого вида инцентр расположен внутри.
Теорема: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом. Для треугольника любого вида центроид расположен внутри. Центроид является центром тяжести треугольника.
Т
еорема: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Ортоцентр может располагаться: внутри треугольника, вне его или совпадать с вершиной, соответственно в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольниках.
Т
еорема: Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около него окружности.Она может располагаться внутри треугольника, вне его или лежать на его стороне.
Э йлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон треугольника лежат на одной окружности.
Теорема: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности. Данная окружность называется окружностью 9 точек. Её радиус равен половине радиуса описанной окружности.
Теорема Фейербаха — один из красивейших результатов геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.
Т еорема Фейербаха: окружность 9 точек касается вписанной окружности треугольника и трех его вневписанных окружностей.
Прямая Эйлера:прямая, которая проходит через центр описанной окружности, ортоцентр треугольника, центроид и центр окружности девяти точек. Последний делит отрезок между ортоцентром и центром описанной окружности пополам.
В 1765 году установлено следующее соотношение: точка пересечения медиан {\displaystyle M} делит отрезок между центром описанной окружности {\displaystyle O} и ортоцентром {\displaystyle H} в отношении 1:2.
2. Практическая часть
2.1. Динамические апплеты и геометрическое место точек
Геометрическое место точек – фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.
Компьютерная среда GeoGebra позволяет создавать небольшие программы – динамические апплеты (динамические модели). Динамические модели позволяют наблюдать и анализировать изменения объекта. В данном случае - геометрического места точек, которое описывают замечательные точки треугольников Понселе при продвижении стартовой точки по большей окружности. При этом треугольник будет видоизменятся, поэтому не важно, какого вида был треугольник до начала эксперимента.
2.2. Эксперименты
В серии экспериментов были рассмотрены ГМТ, которые описывают замечательные точки треугольников Понселе при различном соотношении радиусов окружностей.
2.2.1. R= 6, r= 1.
В результате данного эксперимента получили, что инцентр и точка пересечения серединных перпендикуляров остаются неподвижны, тогда как центроид и ортоцентр описывают окружности некоторых радиусов (длины радиусов см. в Приложении № 1).
2.2.2. R = 6, r=1,5
В результате эксперимента получили, что инцентр и точка пересечения серединных перпендикуляров остаются неподвижны, тогда как центроид и ортоцентр описывают окружности некоторых радиусов (длины радиусов см. в Приложении № 2).
2.2.3 R= 6, r= 2
В результате эксперимента получили, что инцентр и точка пересечения серединных перпендикуляров остаются неподвижны, тогда как центроид и ортоцентр описывают окружности некоторых радиусов (длины радиусов см. в Приложении № 3).
2.2.4 R= 6, r= 2,5
В результате эксперимента получили, что инцентр и точка пересечения серединных перпендикуляров остаются неподвижны, тогда как центроид и ортоцентр описывают окружности некоторых радиусов (длины радиусов см. в Приложении № 4).
2.2.5. Итоги экспериментов
Наблюдения в ходе экспериментов позволяют сформулировать и доказать следующее утверждение:
При вращении треугольника Понселе инцентр и центр описанной окружности остаются неподвижными, а ортоцентр и центроид описывают окружности радиуса и соответственно.
Д оказательство:
Пусть АВС – треугольник Понселе, точка О – центр большей окружности Ω, I – центр меньшей окружности ω, F – центр окружности 9 точек γ, Н – ортоцентр, G - центроид.
Для каждого нового треугольника, полученного вращением, описанная и вписанная окружности Ω и ω остаются неизменными, а, следовательно, инцентр и центр описанной окружности не изменят своего положения.
Для каждого треугольника Понселе расстояние между центрами вписанной окружности и окружности 9 точек одинаково и равно , а, значит, F движется по окружности такого же радиуса.
F лежит на прямой ОН. Так как О – неподвижна, а F движется по окружности, то точки Н и G также движутся по окружностям некоторых радиусов. ОН = 2FO, значит точка Н движется по окружности, гомотетичной данной с коэффициентом 2 и ее радиус равен .
Отрезок GO равен отрезка ОН, отрезок FO равен OH = GO. Значит, отрезок GO равен FO, а точка G движется по окружности, гомотетичной данной с коэффициентом , и радиусом , что и требовалось доказать.
Заключение
В результате проделанной работы:
изучены известные свойства и теоремы, связанные с замечательными точками треугольника: теоремы Эйлера, теорема Фейербаха; поризм Понселе;
созданы динамические апплеты для экспериментов с геометрическими местами точек, образованными замечательными точками треугольника Понселе;
с помощью апплетов проведены эксперименты и проверена выдвинутая гипотеза.
Выводы:
Инцентр и центр описанной окружности всех треугольников Понселе для двух данных окружностей остаются неподвижными.
Ортоцентры всех треугольников Понселе для двух данных окружностей образуют окружность радиуса .
Центроиды всех треугольников Понселе образуют окружность радиуса .
Таким образом гипотеза подтвердилась в 2 случаях из 4: в случае центроида и ортоцентра.
Литература:
Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник / Р.К. Гордин. – М.: МЦНМО, 2003.
Дубровский В. Ловушка для треугольника / В. Дубровский, В. Сендеров // Квант. – 1999. - № 3. – С. 46–49.
Заславский А. Траектории замечательных точек треугольника Понселе/А. Заславский, Д. Косов, М. Музафаров // Квант. - 2003. - №2. - С.22–25.
Смирнова Е.С. Планиметрия: виды задач и методы их решений: Элективный курс для учащихся 9 - 11 классов /Е.С. Смирнова. - М.: МЦНМО, 2016. - 416 с.
Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих / А.И. Сгибнев. —2-е изд., испр. и доп. – М. : МЦНМО, 2015. — 136 с.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Поризм_Понселе
https://ru.wikipedia.org/wiki/Прямая_Эйлера
https://ru.wikipedia.org/wiki/Окружность_девяти_точек
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Фейербаха
Приложение.
Эксперименты
|
№ Экспери-мента |
Радиус большей окружности R |
Радиус меньшей окружности r |
Радиус окружности центроида |
Радиус окружности ортоцентра |
ГМТ |
|
1 |
6 |
1 |
4 |
||
|
2 |
6 |
1,5 |
1 |
3 |
|
|
3 |
6 |
2 |
2 |
||
|
4 |
6 |
2,5 |
1 |