IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические зависимости в оптимальном расположении точки съёмки
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Жизнь современного человека неразрывно связана с фотографией. Практически каждый человек занимается фотографией: старается запечатлеть интересные моменты, виды, пейзажи, людей. Для хорошей композиции в фотографии важно многое учесть: ракурс, освещённость, формат кадра, контраст, … Но есть еще один важный элемент в композиции – геометрия.
Геометрия в фотографии — это простые формы, такие как квадрат, треугольник, круг, прямые и кривые линии. А также геометрия расчёта для точки съёмки. Если фотограф хорошо знает геометрию, ему легче найти оптимальную точку съёмки.
Выбор точки съемки не менее важен, чем сам снимаемый объект. Она может изменить масштаб изображения, расставить акценты на необходимые объекты в кадре.
Цель проекта: исследовать зависимости в оптимальном расположении точки съёмки для фотографии архитектурного сооружения.
Задачи проекта:
Изучить основы композиции фотографии и выбрать для фотосъёмки интересный архитектурный объект.
Изучить необходимый для исследования геометрический материал: свойства серединного перпендикуляра, вписанных в окружность углов.
Создать динамическую модель к задаче и провести с её помощью эксперименты: исследовать с помощью средств компьютерной среды GeoGebra зависимость между расположением точки съёмки, углом, под которым виден объект, расстоянием до разных точек объекта.
Провести анализ полученных данных и сделать выводы.
Сформулировать и доказать полученное в результате экспериментов утверждение.
Объект исследования - съёмка архитектурного сооружения
Предмет исследования - геометрические зависимости в оптимальном расположении точки съёмки.
Гипотеза: оптимальный охват в кадре архитектурного объекта достигается при наибольшем угле зрения между его крайними точками.
Методы исследования: изучение литературы, моделирование, эксперимент, анализ и синтез.
1. Теоретическая часть
1.1. Основы композиции. Точка съёмки, ракурс и выбор плана
Точка съёмки - это точка расположения фотоаппарата по отношению к объекту съемки. Для изменения композиции иногда достаточно сдвинуть камеру всего на несколько сантиметров - и один и тот же объект будет выглядеть совершенно иначе. Определение оптимальной точки съемки требует учесть следующие параметры: расстояние до фотографируемого объекта; направление - перемещение фотоаппарата по горизонтали; высоту съемки - перемещение фотоаппарата по вертикали.
Помимо точки съёмки важен также и выбор плана. Существует деление на общие, средние, крупные и сверхкрупные планы (последние иногда называют деталью или фрагментом). Такое деление основывается на различных масштабах, в которых изображаются фотографируемые предметы.
Важным талантом фотографа является умение выбирать направление съемки — ракурс. Выбор ракурса — процесс творческий. Изменяя его, можно добиться неожиданных результатов, снимая привычные вещи.
При съемках городского пейзажа или отдельных архитектурных сооружений и ансамблей часто используется фронтальная композиция. Фронтальная композиция удобна при съемке объекта с симметрично расположенными частями. В таком кадре снимаемый объект по отношению к фотоаппарату занимает фронтальное положение, фигуры и предметы видны только одной своей стороной.
При постепенном смещении точки съемки вправо или влево от ее центрального положения становится видимой вторая сторона снимаемых фигур и предметов, в кадре выступают грани, линии, очерчивающие объемные формы. Это боковая композиция.
Она усиливает эффект объемности изображения и весь композиционный рисунок кадра становится более глубоким, а не плоским, как это получается при фронтальной композиции. Чем дальше отнесена точка съемки в сторону от ее центрального места, тем больше эффект.
Профессионалы советуют: при фотографировании зданий и сооружений лучше выбрать точку с угла, чтобы было видно две плоскости стен. Такой снимок отображает объемность пространства, демонстрирует архитектурные особенности здания. Лучше, чтобы свет падал на сооружение под углом. Нормальная съемка (на высоте глаз) позволяет передать вид на сооружение таким, каким мы его обычно видим.
1.2. Геометрия углов и расстояний
Для создания геометрической модели по отысканию оптимальной точки съёмки необходимо знать и использовать: свойство серединного перпендикуляра к отрезку, свойство вписанных в окружность углов.
Определение: длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Определение: серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
Теорема (свойство серединного перпендикуляра): каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов отрезка.
И обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Следствие:Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к нему.
О пределение: угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность, называется центральным углом.
На рисунке угол KOLцентральный, дуга KNL расположена внутри угла. Говорят, что центральный угол KОL опирается на дугу KNL. Градусная мера дуги равна градусной мере этого центрального угла.
Определение: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
На рисунке угол АВС вписанный, дуга АМС расположена внутри угла. Говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.
Теорема (свойство вписанного угла): вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Работая с окружностями, необходимо знать и следующий факт, который можно получить, переформулировав теорему об описанной около треугольника окружности:
Теорема: Через любые три точки можно провести окружность, и притом одну.
1.3. Дворец культуры "Магнезит"
Дворец культуры «Магнезит» - главный объект культурной и общественной жизни города Сатки.
Строительство дворца было начато в 1941 году. Во время войны оно было остановлено, возобновилось - в 1948 году. Архитектор - челябинец Теодор Мартинович Эрвальд. Строили дворец всем миром, несмотря на большие материальные послевоенные трудности. Открытие состоялось 7 ноября 1951 года.
Первоначально памятники стояли по обе стороны дворцового марша: В.И. Ленину и И.В. Сталину. Автор неизвестен. Скульптуры из гипсобетона. Постамент высокий, бетонный в форме четырёхгранника. Памятник Сталину был демонтирован в начале 1960-х годов, вместо скульптуры установили памятный знак – орден Великой Отечественной войны.
Сразу по завершении строительства, в 1951 году, здание ДК "Магнезит" было признано лучшим архитектурным сооружением СССР среди 246 объектов из 70 городов и удостоено Сталинской премии. Архитектор Т.М. Эрвальд за проект и его воплощение также стал лауреатом Сталинской премии. Премию получили и производители работ: строители, маляры, плотники, инженеры...
2. Практическая часть
2.1. Моделирование реальной ситуации на языке геометрии.
Необходимо сделать хорошую фотографию фасада Дворца культуры «Магнезит». Как отмечалось выше, профессиональные фотографы советуют сделать снимок во фронтальной композиции или боковой композиции. При этом фотограф должен находиться на дороге (дворцовой площади) перед Дворцом культуры «Магнезит» (далее ДКМ).
Пусть AB – проекция фасада ДК «Магнезит», Х – точка, в которой находится фотограф. Х принадлежит прямой a
Необходимо найти положение Х на прямой a, при котором угол AXB – наибольший.
2.2. Эксперименты
Проведём эксперименты в компьютерной среде GeoGebra - она позволяет создавать небольшие программы – динамические апплеты (динамические модели). Динамические модели позволяют наблюдать и анализировать изменения объекта.
2.2.1 Зависимость между положением точки на прямой и величиной угла
Анимируем движение точки Х по прямой а и наблюдаем за изменением угла AXB. При этомпонятно, что наибольшую величину этот угол достигает в положении, при котором точка Х находится на равных расстояниях от углов здания - концов отрезка АВ.
Из пункта 1.2. заключаем, что такое положение достигается, когда точка Х является точкой серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2.2.2. Зависимость между положением точки на окружности и величиной угла
Проведём окружность через точки А, В и Х. И будем перемещаться по этой окружности, не сходя с дороги. При этом наблюдаем за величиной угла AXB.
Очевидно, что его величина не меняется. Это следует из свойства вписанных в окружность углов.
2.2.3. Итоги экспериментов
Наблюдения в ходе экспериментов позволяют сформулировать и доказать следующие утверждения:
Утверждение: Наибольший угол зрения существует только в одной точке прямойа - в точке пересечения прямой а и серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
Доказательство:
Проведём серединный перпендикуляр отрезка АВ. Пусть он пересекает прямую а в точке Х0. Проведём окружность через точки А, В, Х0 (рис а). Центр этой окружности лежит на серединном перпендикуляре. Возьмём на прямой а любую точку Х1, отличную от точки Х0, и докажем, что угол больше угла АХ1В. Обозначим через К точку пересечения луча АХ1 с проведённой окружностью (рис. б). как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. А угол АКВ является внешним по отношению к треугольнику ВКХ1, а, значит, он больше угла АХ1В. Следовательно, угол больше угла АХ1В.
Осталось выяснить, почему точка Х1 находится за пределами построенного круга. , значит, . Тогда прямая а - касательная к проведённой окружности. Значит, любая точка прямой а, отличная от точки касания, лежит за пределами круга.
Таким образом, наибольший угол зрения существует только в одной точке прямойа - в точке пересечения прямой а и серединного перпендикуляра к отрезку АВ, что и требовалось доказать.
Заключение
В результате проделанной работы:
изучены свойства серединного перпендикуляра и вписанных углов;
изучены некоторые правила основы композиции при фотосъёмке;
изучена информация об архитектурном памятнике нашего города Дворце культуры "Магнезит"
созданы динамические апплеты для экспериментов по отысканию оптимальной точки съёмки;
с помощью апплетов проведены эксперименты и проверена выдвинутая гипотеза.
Выводы:
оптимальный охват в кадре архитектурного объекта достигается при наибольшем угле зрения между его крайними точками;
при этом используется фронтальная композиция, при которой точка съёмки находится на пересечении серединного перпендикуляра к проекции фасада и прямой, по которой может передвигаться фотограф;
при боковой композиции для наибольшего угла зрения необходимо сместить траекторию передвижения с прямой на окружность. Окружность проходит через концы отрезка проекции фасада и точку, общую для серединного перпендикуляра и прямой (прямая должна быть на достаточном расстоянии от объекта).
Таким образом, гипотеза о том, что оптимальный охват в кадре архитектурного объекта достигается при наибольшем угле зрения между его крайними точками, подтвердилась.
Литература
Иванов С.Г. Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды "Живая математика" / С.Г.Иванов, В.И.Рыжик. - М.: Просвещение, 2013.
Атанасян Л.С. Геометрия. 7 - 9 классы: учебник для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2016.
3) PhotoDzen. Фото учебник / http://photodzen.com/
4) Архитектурное наследие. Дворец Магнезит в г. Сатка. Сайт общества изучения русской усадьбы / https://arch-heritage.livejournal.com/1640260.html
14