IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Метод равносоставленных фигур и ... жемчужина античной математики
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Поводом к написанию научно-исследовательской работы по теме «Метод равносоставленных фигур и … жемчужина античной математики» послужили следующие исторические факты:
в научной литературе зафиксировано более 300 доказательств теоремы Пифагора. Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Она является единственной теоремой с внушительным числом доказательств: через подобие треугольников, методом площадей, доказательство через равнодополняемость и равносоставленность, методом разложения;
к доказательству этой теоремы обращались математики разных исторических периодов и не только математики. Причина популярности, триумфа теоремы Пифагора заключается в единстве простоты, красоты и значимости. Она проста, но не очевидна. Это придает ей особую притягательную силу.
Актуальность исследования заключается в том, что в работе рассматриваются такие способы доказательства известной теоремы, о которых в школьных учебниках даже не упоминается, но они вызывают интерес своей простотой и изяществом, значительно расширяют наши знания о теореме Пифагора и применении ее геометрических доказательств в жизни. Идет поиск на возникший проблемный вопрос: доступны ли эти доказательства для нашего понимания.
Объект исследования: теорема Пифагора.
Предмет исследования: некоторые доказательства теоремы Пифагора методом разложения.
Гипотеза: выполнив работу, будут установлены различные геометрические доказательства теоремы Пифагора; выполнив анализ и сравнение различных доказательств, можно будет найти практическое применение некоторых из них.
Цель работы: установить некоторые геометрические способы доказательства теоремы Пифагора, основанные на равносоставленности фигур, и найти их применение в создании головоломок.
Задачи работы:
проанализировать информацию по теме работы;
установить, где применяется метод равносоставленных фигур;
изготовить геометрические головоломки «СМОТРИ: ТЕОРЕМА ПИФАГОРА!» из подручного материала и в ИГС GeoGebra;
попытаться найти собственные доказательства теоремы Пифагора.
Методы исследования: анализ учебников, справочной математической литературы; построения с помощью циркуля и линейки; компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra; анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования; проверка выдвинутых гипотез; аналитические рассуждения.
О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы, рефератов, статей, которые использовались для написания работы. В рассмотренной литературе вопрос практического применения теоремы Пифагора освещён недостаточно. При анализе источников информации возникли вопросы: как объяснить, что существует такое множество доказательств одного и того же математического утверждения; где в реальной жизни могут найти применение эти геометрические доказательства. Чтобы ответить на эти вопросы, в работе рассмотрены некоторые способы доказательства теоремы из различных источников.
Для раскрытия темы работы автором была сделана попытка доказать теорему собственными способами по аналогии с древними доказательствами, которые сопровождались только указанием «СМОТРИ!». Кроме того, на основании найденной информации было создано несколько головоломок «СМОТРИ: ТЕОРЕМА ПИФАГОРА!».
ГЛАВА 1. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Существует огромное количество методов доказательства теоремы Пифагора. Одним из основных является метод равносоставленных фигур (метод разложения), на который сделан акцент в работе. Он базируется на равновеликости и равносоставленности многоугольников (ПРИЛОЖЕНИЕ 1).
Было установлено, что метод равносоставленных фигур применяется в геометрии: при выводе формул площади параллелограмма, треугольника, трапеции; при нахождении площади «клетчатого многоугольника». Применяется этот метод и в играх-головоломках на складывание фигур: головоломки «Пифагор» и «Танграм» (ПРИЛОЖЕНИЕ 2).
1.1 Теорема Пифагора в школьном курсе геометрии
Первое знакомство с теоремой Пифагора произошло в 6 классе, когда на уроках «Наглядной геометрии» было предложено доказать, что квадрат, прилегающий к гипотенузе равнобедренного треугольника, равен сумме квадратов, прилегающих к катетам. Тогда это было доказано путём проведения диагоналей квадратов [9].
Позже, на уроках геометрии в 8 классе теорема Пифагора была доказана для произвольного прямоугольного треугольника с помощью достраивания треугольника с катетами a и b до квадрата со стороной (a + b).
Sкв = (a + b)2.
Sкв = с2 + 2ab.
(a + b)2 = с2 + 2ab.
a2 + b2 = с2.
Были установлены три эквивалентные формулировки теоремы [7], [8]:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах;
квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.
1.2 За страницами школьных учебников по геометрии
После изучения данной теоремы на уроках геометрии возникли вопросы: так ли её доказывали во времена Пифагора, и существуют ли другие доказательства этой теоремы?
Cогласно различным источникам, существует более 370 различных доказательств теоремы Пифагора [2]. На сайте https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ описаны и доказаны 122 различных способа доказательства.
1) Древнекитайское доказательство[12].
С амым древним доказательством теоремы Пифагора считается чертёж в древнекитайском трактате «Чжоу-би суань цзинь». Там теорема была рассмотрена для египетского треугольника с гипотенузой 5 и катетами 3, 4 единиц измерения.
Т акже в классическом сочинении, энциклопедии знаний древнекитайских математиков «Математика в девяти книгах», которая была создана во II веке до н. э., теорема Пифагора была доказана с помощью чертежа, на котором 4 равных прямоугольных треугольника со сторонами a и b образуют 2 квадрата. Сторона внешнего квадрата равна (a + b), а внутреннего – c.
Тогда, если из внутреннего квадрата вырезать 2 прямоугольных треугольника и приложить их к гипотенузам двух других треугольников, то получится фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами a и b. Значит, c2 = a2 + b2.
2) Доказательство Евклида.
В III веке до н.э. в первой книге «Начал» Евклид предложил своё доказательство теоремы. Его долгое время использовали для доказательства теоремы Пифагора в школе (в середине ХХ века). Однако оно является довольно громоздким. Доказательство теоремы Пифагора Евклидом представлено в школьном учебнике по геометрии Киселёва А.П. [10].
Е вклид приводит и графическое доказательство, где квадраты, выстроенные на катетах, превращаются в параллелограммы той же площади (так как они имеют то же основание и ту же высоту), а те, в свою очередь, трансформируются в квадрат, построенный на гипотенузе [14].
3) Доказательство математиков IX века [12].
М атематики IX века предлагали следующий чертёж. На нём квадраты, построенные на катетах, расположены ступенями, один рядом с другим. Также построен квадрат со стороной, равной гипотенузе. Индусы назвали такую композицию «стулом невесты». На чертеже общая часть квадратов – шестиугольник 4. Равенство треугольников 1, 2 и 3 доказывается параллельным переносом. Таким образом, квадраты, построенные на катетах, состоят из тех же частей, что и квадрат на гипотенузе. Значит, квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах.
4) Шедевры доказательства теоремы Пифагора.
Среди многочисленных доказательств теоремы Пифагора методом разложения есть два таких, что их можно назвать шедеврами, так как они и красивы, и просты до гениальности. Первое принадлежит багдадскому математику Аннарицию (конец IX – начало X века), комментатору Евклида, а второе – лондонскому астроному-любителю Генри Перигалю, опубликованное в 1873 году.
‒ Доказательство Аннариция [12]. В X веке Аннариций (ан-Найризий) в комментариях к «Началам» Евклида дал своё доказательство теоремы Пифагора. В своём чертеже Аннариций разбил квадрат, лежащий на гипотенузе, на 5 частей (3 треугольника и 2 четырёхугольника), из которых можно составить квадраты на катетах. Равенство отдельных фигур доказывается с помощью параллельного переноса.
Доказательство Аннариция можно считать одним из простейших геометрических способов доказательства теоремы Пифагора, так как в нём квадрат на гипотенузе разбивается всего на 5 частей.
И нтересно, что разложение, предложенное Аннарицием, появляется в арабской мозаике (мозаика, состоящая из отдельных кусочков квадратов со сторонами, соответствующих катетам, наложена на мозаику, состоящую из квадратов, соответствующих гипотенузе).
‒ Доказательство Перигаля [12]. На чертеже Генри Перигаля (чертёж нередко называют «колесо с лопастями») через центр квадрата, построенного на большом катете, проведены 2 прямые: одна из них перпендикулярна, а другая параллельна гипотенузе.
Из полученных 4-х четырёхугольников и квадрата, построенного на маленьком катете, можно параллельным переносом составить квадрат на гипотенузе.
5) Древнеиндийское доказательство.
В трактате «Сиддханта широмани» древнеиндийского математика XII века Бхаскары есть ещё один чертёж, доказывающий теорему Пифагора. На нём изображена внутренняя часть древнекитайского чертежа. В пояснение к рисунку написано только одно слово: «СМОТРИ!». С помощью данного чертежа теорему Пифагора можно доказать, как геометрическим, так и алгебраическим способом.
Г еометрическое доказательство [12]: данный квадрат со стороной c можно переложить в 2 квадрата: один со стороной a, другой со стороной b. А это значит, что c² = a² + b².
Алгебраическое доказательство [3]:
c² = + (b – a)².
c² = 2ab + b² ‒ 2ab + a².
c² = b² + a².
6) Доказательство Леонардо Да Винчи[14].
Т еорема Пифагора привлекла даже известного художника и учёного, Леонардо Да Винчи, который предложил своё доказательство. На его чертеже построены 2 треугольника, равных данному, один на стороне квадрата гипотенузы, другой на сторонах квадратов катетов. Отрезок AI делит квадрат BCHJ на две одинаковые части. Повернув ABJI на 90° против часовой стрелки, можно заметить, что ABJI = DBCG. Значит, с одной стороны, площадь закрашенной фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна сумме половины площади квадрата, построенного на гипотенузе, и площади исходного треугольника. Из этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах.
7) Доказательство теоремы Пифагора политиками [12].
‒ Доказательство теоремы Пифагора Джеймса Абрама Гарфилда, 20-го Президента США. Данное доказательство имеет вычислительный характер. Оно основано на вычислении площади трапеции двумя способами.
С одной стороны площадь трапеции равна S = , но в данном случае h = a+b, поэтому S = .
С другой стороны площадь трапеции можно представить в виде суммы площадей 3 прямоугольных треугольников: S = + + или S = ab + .
Приравняв правые части, получим: a² + b² = c².
‒ Доказательство Курта Вальдхейма, 4-го Генерального секретаря ООН, бывшего Президента Австрии. Это доказательство имеет вычислительный характер. Площадь трапеции ABDE находится двумя способами:
по формуле площади трапеции c основаниями АВ = a и ED = b и высотой BD = a;
п лощадь этой трапеции равна сумме площади четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями AC = BE = c и площади прямоугольного треугольника CED с катетами ED = b и CD = a – b.
SABDE = · a = ;
SABDE=SABCE+SΔCDE;
SABDE = + = ;
= ;
a² = c² - b²;
c² = a² + b².
8) Доказательства математиков ХХ века.
В ХХ веке Пауль Софус Эпштейн – немецкий математик (основные труды Эпштейна относятся к теории чисел и истории математики) и американский математик Баравилль (работал в области теории игр и дифференциальной геометрии, изучения уравнений в частных производных) представили свои доказательства знаменитой теоремы.
‒ Доказательство Пауля Софуса Эпштейна [11]. В доказательстве Эпштейна квадрат на гипотенузе разбивается на 8 треугольников. На рисунке точка C принадлежит отрезку EF, отрезок CD перпендикулярен EF, отрезки GH и KM параллельны EF. Равенство отдельных фигур доказывается при помощи параллельных переносов и поворотов треугольников, например, треугольники 2 совпадают при повороте друг друга на 90°, а треугольники 3 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе. Преимуществом данного метода является то, что квадраты разбиваются только на треугольники.
‒ Доказательство Баравилля [6]. В 1945 году американский математик Баравилль придумал ещё одно наглядное доказательство теоремы Пифагора. В его доказательстве квадрат, построенный на гипотенузе, постепенно превращается в квадраты, построенные на катетах.
ГЛАВА 2. АВТОРСКИЕ ИГРЫ-ГОЛОВОЛОМКИ И СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
2.1 Создание игр-головоломок «СМОТРИ: ТЕОРЕМА ПИФАГОРА!»
После установления различных способов доказательства теоремы Пифагора возник вопрос: имеют ли они практическое применение в наше время? Подсказку на ответ по данному вопросу дали головоломки «Пифагор» и «Танграм». Возникла идея: создать свою коллекцию головоломок, с помощью которых можно доказать теорему Пифагора.
Также после изучения различных источников информации о способах доказательства теоремы Пифагора методом равносоставленных фигур (методом разложения), учителем мне была предложена книга Клауди Альсина «Секта чисел. Теорема Пифагора»[2]. Она заинтересовала меня, в ней была найдена новая информация по теме работы, но главное и самое замечательное то, что идея создания головоломок, с помощью которых можно доказать теорему Пифагора, подтвердилась!
Т ак, в книге [2] была представлена головоломка немецкого физика Иоганна Эдуарда Бетхера, опубликованная в статье «Простая модель для доказательства теоремы Пифагора». В статье была предложена головоломка, где каждый из квадратов, построенных на катетах, разбит на 4 треугольника, из которых надо составить квадрат, построенный на гипотенузе, с симметричным расположением этих треугольников.
При создании головоломок было замечено, что в древних трактатах нет словесного доказательства, в пояснениях к рисункам было только указание: «СМОТРИ!». Было решено пойти по этому же пути: «СМОТРИ!». Первые игры-головоломки были созданы из картона. Однако эта работа требует много времени и сил. Поэтому было решено создать головоломки в ИГС GeoGebra. Эти игры вызвали интерес у учеников 8 – 9-х классов.
Суть игр-головоломок заключается в том, что фигуры, на которые разбиты квадраты, построенные на катетах надо «перетащить» в квадрат, построенный на гипотенузе (или наоборот, фигуры с квадрата, построенного на гипотенузе, нужно перетащить на квадраты, построенные на катетах) с помощью инструмента «Перемещать» ИГС Geogebra. Всего было создано 11 игр- головоломок.
2.2 Авторские способы применения метода равносоставленных фигур при доказательстве теоремы Пифагора
П осле создания головоломок была предпринята попытка найти собственные способы доказательства теоремы Пифагора методом равносоставленных фигур.
Первый способ разложения на части квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, не дал результата.
П
ABC – исходный прямоугольный треугольник. На гипотенузе AC построен квадрат HCAI. На катете CB построен квадрат FCBG. На катете AB построен квадрат ABDE. Все 3 квадрата расположены по одну сторону от АС.
озже возникла мысль. В рассмотренных доказательствах квадраты были расположены во внешней области данного прямоугольного треугольника. А что будет, если квадраты будут построены по другую сторону от катетов и гипотенузы треугольника? Как оказалось в ходе моделирования в ИГС Geogebra, с помощью данного построения также можно доказать теорему Пифагора методом равносоставленных фигур. Ниже представлены некоторые из 10 найденных способов доказательства теоремы Пифагора.
ABC – исходный прямоугольный треугольник. На его гипотенузе AB построен квадрат BEDA. На катете BC построен квадрат BGFC. На отрезке DH = AC построен квадрат IDHF.
ABC – исходный прямоугольный треугольник. На гипотенузе AB построен квадрат ABB1A1. На катете AC построен квадрат ACDE. На отрезке D1E = CB построен квадрат D1EA1H.
ABC – исходный прямоугольный треугольник. На гипотенузе AC построен квадрат APOC. На катете AB построен квадрат ABKJ. На катете CB построен квадрат HECB.
ABC – исходный прямоугольный треугольник. На гипотенузе AB построен квадрат ABDE. На катете AC построен квадрат RFCA. На катете CB построен квадрат KCBM.
Также теорему Пифагора удалось доказать с помощью игры «Танграм» и головоломки «Пифагор» (если сделать дополнительные построения), но только для равнобедренного прямоугольного треугольника. На основании этих доказательств в ИГС «GeoGebra» созданы динамические головоломки.
Доказательство теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника с применением игры «Танграм».
Доказательство теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника с применением головоломки «Пифагор».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения работы гипотеза подтвердилась, цель работы была достигнута, задачи решены.
Было установлено:
многочисленные доказательства теоремы Пифагора являются не только математическим интересом. Изобретательный подход, элегантность, красота этих доказательств вызывает восхищение;
теорема Пифагора является классическим примером «единомыслия» ‒ это математическое утверждение присутствует практически во всех древних культурах, это одна из самых известных в мире теорем, и она неразрывно связана с именем Пифагора;
доказательством этого математического утверждения занимались не только математики, но и художник и учёный Леонардо Да Винчи, немецкий физик Иоганн Эдуард Бетхер, Президент США Джеймс Абрам Гарфилд и Президент АвстрииКуртВальдхейм;
большое число доказательств теоремы Пифагора объясняется тем, что умение доказывать данную теорему стало со временем универсальным показателем общего образования человека.
На основании анализа геометрических методов доказательства теоремы было изготовлено несколько головоломок «СМОТРИ: ТЕОРЕМА ПИФАГОРА!» из подручного материала (картона) и в электронном виде (в ИГС GeoGebra).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
Акимова, С. Занимательная математика: Нескучный учебник [Текст] / С. Акимова. – Санкт-Петербург: Тригон, 1997. – 608 с.
Альсина, К. Мир математики [Текст]. В 40 т. Т. 5. Секта чисел. Теорема Пифагора / Клауди Альсина, пер. с англ. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.
Березин, В.В. Теорема Пифагора [Текст] / В.В. Березин // Квант. – 1972. – № 3. – С. 18 – 21.
Бэлл, Э.Т. Творцы математики: Предшественники современной математики [Текст] / Э.Т. Бэлл. – Москва: Книга по Требованию, 2012. – 253 с.
Волошников, А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты [Текст] / А.В. Волошников. – Москва: Просвещение, 1993. – 224 с.
Гарднер, М. Пифагоровы штаны на все стороны равны [Текст] / М. Гарднер, пер. с англ. // Техника – молодёжи. – 1971. – № 5. – С. 67.
Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса [Текст]: учеб. пособ. / Л.С. Атанасян [и др.]. – Москва: Просвещение, 1996. – 176 с.
Геометрия: 7 – 9 классы [Текст]: учебник / Л.С. Атанасян [и др.]. – 20-е изд. – Москва: Просвещение, 2010. – 384 с.
Еленьский, Ш. По следам Пифагора [Текст] / Ш. Еленьский. – Москва: Детгиз, 1961. – 486 с.
Киселёв, АП. Геометрия [Текст]. В 2 ч. Ч. 1. Планиметрия: учебник / А.П. Киселёв, ред. Н.А. Глаголева. – 21- изд. – Москва: Учпедгиз, 1962. – 184 с.
Колосов, А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах [Текст] / А.А. Колосов. – Москва: Учпедгиз, 1963. – 435 с.
Лицман, В. Теорема Пифагора [Текст] / В. Лицман, пер. В.С. Бермана под ред. И. М. Яглома. – Москва: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1960. – 114 с.
Пономарёва, Т.Д. Я познаю мир. Великие учёные [Текст]: детская энциклопедия / Т.Д. Пономарёва. – Москва: АСТ: Астрель: Ермак, 2004. – 398 с.
Хаэн, С.М. Величайшие теории [Текст]. В 50 т. Т. 27. Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора / Санчес Маркос Хаэн, пер. с итал. – М.: Де Агостини, 2015. – 168 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Равновеликость и равносоставленность многоугольников
Равновеликие многоугольники – это многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.
Равносоставленныемногоугольники – это многоугольники, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей.
Определение. Многоугольники называются равносоставленными и равновеликими, если:
многоугольник путем разрезания и перекладывания можно преобразовать в другой многоугольник с такой же площадью;
площадь целого многоугольника равна сумме площадей его частей.
Теорема Бойяи – Гервина: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. То есть, если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то любой из них можно разрезать на конечное число частей, из которых в ином расположении можно составить второй многоугольник.
Следствие: любой многоугольник можно разрезать на такие части, из которых можно составить равновеликий многоугольнику квадрат.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Применение метода равносоставленных фигур
Метод равносоставленных фигур часто применяется в геометрии, например:
1) при решении геометрических головоломок (головоломка «Пифагор», игра «Танграм»).
С уть головоломок заключается в том, что из деталей нужно составлять различные фигуры.
Головоломка «Пифагор» «Танграм»
2) при выводе формул площади различных фигур: параллелограмма, треугольника, трапеции.
Эти фигуры можно разрезать так, чтобы из получившихся частей составлялся прямоугольник, площадь которого равна: S = ab. На основании этого можно сформулировать формулы для площадей фигур.
3) при нахождении площади «клетчатого многоугольника».
И ногда данную фигуру можно преобразовать в более простой многоугольник, площадь которого легко найти, или можно найти площадь фигуры, как сумму площадей её частей.
4) в задачах на разрезания.
На рубеже XIX – XХ веков появляется множество трудов в области занимательной математики (Генри Эрнест Дьюдени, Сэми Лойд). Среди головоломок особое место занимают задачи на разрезания, в которых одну фигуру надо разрезать на треугольники и из них составить новую фигуру.
«Задача галантерейщика» Генри Дьюдени