IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Использование графического метода при решении задач с параметрами
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
При подготовке к ЕГЭ мы столкнулись с особым видом заданий – заданиями с параметром. К сожалению, в школьном курсе математики решению заданий с параметрами отводится малое количество времени. При этом сложнее как проведение решения таких заданий, так и понимание готового решения при объяснении его учителем. Поэтому возникла потребность найти доступный и главное наглядный способ решения таких заданий.
В связи с этим мы выдвинули гипотезу: в некоторых случаях графическая иллюстрация облегчает решение задания с параметром, позволяет отобрать случаи, при которых уравнение (неравенство или их системы) имеют определенное количество решений или же само решение принадлежит конкретному числовому промежутку. Мы поставили перед собой цель: опробовать метод графических иллюстраций при решении ряда заданий ЕГЭ.
Объектом нашего исследования стало решение заданий с параметром графическим способом.
Актуальность этой темы определяется тем, что на сегодняшний день для поступления в ведущие вузы необходим высокий балл, полученный при сдаче Единого Государственного Экзамена, в состав которого входят и такие задания.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) дать определения понятиям уравнение и неравенство с параметрами;
2) показать принцип решения данных уравнений с использованием графической иллюстрации;
Методы исследования:
теоретические: метод анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному;
математические: метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПАРАМЕТРАХ.
1.1 Общие сведения
В экзаменационных заданиях нередко встречаются уравнения (неравенства), содержащие помимо букв, обозначающих неизвестные величины, и другие – параметры. В некотором смысле параметр – это тоже переменная величина.
Уравнение с параметром является краткой записью целого класса уравнений, получаемых из исходного подстановкой в него конкретных значений параметра.
Задачи с параметром являются особым классом заданий, пробуждающим логическое и вариативное мышление учеников. Но в тоже самое время они вызывают значительные затруднения, так как в школьном курсе математики на эту тему отводится незначительное количество времени.
Решить уравнение (неравенство) с параметром означает – для всех допустимых значений параметров найти всё множество решений уравнения (неравенства). Если возможны различные варианты ответов в зависимости от значений, принимаемых параметрами, то будем говорить, что решение «разветвляется».
Следует отметить, что сам параметр имеет двойственную природу. Во-первых, его «известность» позволяет обращаться с ним как с числом. Во-вторых, допустимость той или иной операции ограничивается «неизвестностью» параметра. Ряд действий над выражениями с параметром в обязательном порядке должно сопровождаться предварительными исследованиями (деление на выражение с параметром, извлечение корня из подобного выражения и т.д.). Такие исследования, как правило, существенно влияют на окончательный ответ.
В отличие от уравнения с двумя переменными f(x,a)=0, где требуется найти все пары чисел (x,a), удовлетворяющие этому уравнению, уравнение f(x,a)=0 с параметром а ставит задачу – указать те значения параметра а, при которых это уравнение имеет решения (относительно неизвестной х), и для каждого такого значения а указать (зависящее от а) множество решений этого уравнения.
Эта задача может формулироваться не только прямым указанием «для каждого значения параметра найти все решения уравнения(неравенства)», но и несколько закамуфлировано, например, «найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения(неравенства), удовлетворяет заданным условиям».
К тому же при решении можно «приобрести» так называемые посторонние корни, проверка которых для уравнений с параметром – задача весьма непростая. Поэтому решая уравнения или неравенства с параметрами, следует применять лишь равносильные преобразования.
1.2. Координатно-параметрический метод.
Одним из наиболее наглядных методов решения заданий с параметром является координатно-параметрический метод. Он применяется при решении однопараметрических заданий.
Особо эффективно использование координатно-параметрического метода в сочетании с равносильными преобразованиями уравнений или неравенств.
Рассмотрим подробнее координатно-параметрический метод.
Отметим точку О (начало координат). Отложим на плоскости две взаимно-перпендикулярные числовые оси, проходящие через точку О. Ось ОХ назовем координатной, а ось ОА – соответственно параметрической. В этом случае полученную плоскость будем называть координатно-параметрической.
Отсюда и название самого метода.
Он основан на нахождении множества всех пар (значения координаты х и параметра а) таких, что каждая из них удовлетворяет требованию задания. Если такое множество точек координатно-параметрической плоскости будет найдено, то для каждого допустимого значения параметра а укажем соответствующие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи. Так же необходимо указать, при каких значениях параметра а задача не будет иметь решения.
Рассмотрим в общем виде решение координатно-параметрическим методом уравнения , где является функцией переменного х и параметра а.
Пусть на координатно-параметрической плоскости уже построено множество всех точек (значения координаты х и параметра а)являющихся решением исходного уравнения
Может быть, что для любого допустимого значения параметра уравнение:
а) не будет иметь решений ;
б) лишь для некоторых значений параметра не будет иметь решений;
в) имеет определенное конечное число решений;
г) имеет бесконечное множество решений.
В связи с этим при записи ответа для каждого фиксированного допустимого значения параметра а поставим ему в соответствие значение искомой координаты х.
Отдельно следует рассмотреть два частных случая:
Координата х является некоторой функцией параметра а (т.е. ), не явно заданная уравнением .
В этом случае при построении координатно-параметрической плоскости в качестве горизонтальной выберем параметрическую ось Оа. Тогда множество всех точек (х, а), являющихся решением исходного уравнения, представляет собой график функции с аргументом a.
Параметр является функцией от координаты х: , заданная неявно уравнением .
В этом случае при построении координатно-параметрической плоскости в качестве вертикальной оси выберем параметрическую ось Оа. А значит, множество точек, значения координаты и параметра каждой из которых являются решением исходного уравнения, можно изобразить в виде графика функции , с аргументом х.
Центральное место в координатно-параметрическом методе занимает непосредственно нахождение множества всех точек плоскости, задаваемых исходным уравнением.
Так в геометрии показано, что на координатно-параметрической плоскости ХОа уравнение определяет линию. Например, уравнения: ; ; определяют соответственно окружность, гиперболу, параболу.[1].
Итак, задания с параметром играют важную в роль в процессе подготовки к сдаче Единого Государственного Экзамена. Задание с параметром – неординарная логическая задача. А значит, подходить к его решению с различных сторон и использовать удобные методы, в частности графическую иллюстрацию.
ГЛАВА 2. ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.
2.1. Решений уравнений.
Задание 1. При каких значениях с уравнение имеет единственное решение?
Решение. Построим в одной координатной плоскости графики функций, заданных правой и левой частями уравнений, т.е.y = и y = - c - х.
Учитывая, что y = можно заменить системой
то графиком первой функции будет является полуокружность (верхняя) с центром в точке (0;0) и радиусом 4. Вторая функция – линейная, ее графиком является прямая, угловой коэффициент которой равен -1. Прямая пересекает ось Oxв точке (- c; 0)(рис. 1).
рис.1
Очевидно, что исходное уравнение будет иметь единственное решение только в том случае, когда графики имеют ровно одну точку пересечения.
Придавая с различные значения, получим семейство прямых, изображенных на рисунке.
Заметим, что графики функций будут иметь одну точку пересечения в следующих случаях:
Прямая y = - c - x касается полуокружности в точке ( ), то есть при c = -4 .
Прямая y = - c - x лежит в полосе между прямыми y = - x - 4 и y = - x + 4 (включая первую и исключая последнюю), то есть при c∈ (-4; 4]
При остальных значениях параметра с графики функций либо имеют две точки пересечения, либо не пересекаются вовсе.
Объединяя найденные значения, записываем ответ
Ответ: c
Задание 2. Найти все значения a, при которых данное уравнение разрешимо единственным образом: | 2x + 6 | + | 2x – 8 | = ax + 12.
Решение. Решим данное уравнение графически. Рассмотрим две функции, заданные левой и правой частями уравнения:
у = | 2x + 6 | + | 2x – 8 | и у = ax + 12.
Построим их графики в одной координатной плоскости.
Первую функцию можно кусочно задать следующим образом:
Графиком же второй функции является прямая с угловым коэффициентом a, которой принадлежит точка (0; 12) (рис.2).
Очевидно, что первоначальное уравнение имеет единственное решение только при условии, что графики рассматриваемых функций имеют одну точку пересечения. При помощи графической иллюстрации замечаем, что такой вариант возможен в одном из трех случае:
Прямая у = ax + 12 расположена в остром угле между прямыми
у = -4х + 12 и у = 4х + 12, то есть при
Рис.2
Точка (-3; 14) принадлежит прямой у = ax + 12 , а значит
Точка (4; 14) принадлежит прямой у = ax + 12 проходит, а именно при .
Анализируя полученный чертеж, отметим, что любая другая прямая, содержащая точку (0; 12), либо имеет либо ровно две точки пересечения, либо не имеет общих точек с графиком функции у = | 2x + 6 | + | 2x – 8 |.
Объединив все полученные значения а, записываем ответ.
Ответ:
2.2. Решение систем.
Задание 1. Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.
Решение.Система уравнений будет иметь единственное решение только в том случае, когда окружности касаются друг друга (внешним или внутренним образом).
Графиком каждой из функций явялется окружность: первой функции – окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 2, второй функции – окружность с центром в точке (3; -4) и радиусом .
Заметим, что расстояние между центрами данных окружностей равняется 5.
Построим на координатной плоскости две окружности, касающиеся графика функции внешним и внутренним образом.
Из чертежа видно, что в первом случае (внешнее касание) радиус второй окружности должен быть , то есть . Во втором случае, радиус второй окружности должен принимать значение , то есть .
Ответ: а = 49 или а = 9.
Задание 2. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение
?
Решение.
Первое уравнение системы является квадратным относительно у.
Найдем дискриминант данного уравнения: D = (2a + 1)2 – 4(a2 + а – 2) = 9.
В этом случае:
Получили уравнения двух прямых, параллельных оси абсцисс и находящихся друг от друга на расстоянии единичных отрезков.
Рассмотрим теперь второе уравнение системы.
Вначале отметим, что показывает расстояние на координатной плоскости между точками с координатами (х; у) и (а; 0), а число - расстояние между точками (х; у) и(а; 3).
Исходя из первого уравнения, точки (х; у) и (а; 3) находятся друг от друга на расстоянии 3. А значит, второе равенство системы верно только в случае, когда точка (х; у) лежит на отрезке, соединяющем эти две точки. Следовательно, множество решений этого уравнения на координатной плоскости представляет собой отрезок, соединяющий точки с координатами (а; 0) и (а; 3) (рис.6).
Рис.6
Если пара прямых из пункта 1 имеет единтсвенную точку пересечения с отрезком из пункта 2, то и исходная система будет иметь единтсвенно решение.
Исходя из графиков, видно, что это возможно в следующих случаях:
Верхний конец отрезка лежит на прямой у = а – 1 или выше её, при этом нижний конец отрезка лежит ниже этой прямой. Такому случаю соответствуют значения а ∈ (1; 4] (рис.6, а, б).
Нижний конец отрезка лежит на прямой у = а + 2 или ниже её, при этом верхний конец отрезка лежит выше этой прямой. Это соответствует значениям а ∈ [-2; 1) (рис.6, г, д).
Во всех остальных случаях отрезок и пара прямых либо не пересекаются, либо имеют ровно две общие точки (рис.6, в, е).
Ответ: а ∈ [-2; 1) U (1; 4].
2.3. Решение неравенств
Задание 1. Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства (р – х2 )(р + х – 2) ≤ 0 не содержит ни одной точки из отрезка х ∈ [-1;1].
Решение. Построим на координатной плоскости хОр решение данного неравенства. Для этого изобразим параболу р = х2 и прямую р = 2 – х, которые пересекаются в точках (-2;4) и (1;1). Так как
т
о решением неравенства является множество точек, лежащих внутри параболы ниже прямой и вне параболы выше прямой (рис.7) .
рис.9
Рассмотим прямые, соответствующие границам отрезка. Они пересекают параболу в точках (-1;1) и (1;1) соответсвенно, а прямую р = 2-х – в точке (-1;3) и той же точке (1;1).
Требование задания будет выполнено, если отрезок прямой р = р0, заключенный между прямыми х = -1 и х = 1, не содержит построенное нами множество.
Как видно из рисунка, это происходит только при .
Ответ:
Задание 2. Найти все а, при каждом из которых любое решение неравенства
удовлетворяет неравенству х(х + а + 1) ≥ 0.
Решение. Рассмотрим уравнение х2– (4а + 4)х + 3а2 + 12а = 0. Оно является квадратным относительно х. Вычислим половинный дискриминант
Следовательно, корни уравнения имеют вид х = 2а + 2 + а – 2 = 3а и
х = 2а + 2 – а + 2= а + 4. А значит, первое неравенство можно заменить следующим образом:
Таким образом, решением неравенства являются два вертикальных угла, ограниченных прямыми .
Если х ≥ 0 (I и IV четверть), то решением неравенства х(х + а + 1)≥ 0 является множество точек, лежащих выше прямой а = - х – 1, то есть
а ≥ - х – 1
Если а⩽ 0 (II и III четверти) – множество точек, лежащих ниже этой прямой, то есть а⩽- х - 1(рис. 10)
Рис.11
Исходя из построения заметно, что при а = -1 решением второго неравенства является вся числовая прямая, то есть условие задачи выполняется.
Если , то можно найти такие решения первого неравенства, которые не являются решением второго.
На графике отмечены такие решения, соответствующие значениям
а = а1 и а = а2. Следовательно, все такие а не удовлетворяют условию задачи.
При любое решение первого неравенства является также и решением второго. На рисунке таким решениям соответствуют значениям а = а3, а = а4 и а = а5.
Запишем ответ.
Ответ:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучение координатно-параметрического метода решения задач с параметрами может помочь более кратко и ясно решить подобные задания на выпускных и вступительных экзаменах.
Во время выполнения этого проекта мы взяли за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь подобные задания встречаются гораздо чаще, чем мы можем себе представить. Из этого можно сделать вывод, что изучение координатно-параметрического метода решения задач с параметрами актуально, так как может помочь более кратко и ясно решить подобные задания на выпускных и вступительных экзаменах.
Также можно отметить, что данная тема развивает логические и вариативные способности человека, позволяет расширить границы возможностей.
В нашей исследовательской работе цель была достигнута, так как все поставленные в начале задачи были решены. Мы постарались рассмотреть часто встречающиеся задания на ЕГЭ, а также олимпиадные задачи с повышенной сложностью. В данной работе мы выяснили, что метод графической иллюстрации наиболее удобен для решения неравенств или же уравнений с параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
Гайдаржи Г.Х., Шинкаренко Е.Г. Параметрические задания в курсе школьной математики как средство формирования исследовательских умений школьников – Тирасполь: Издательство Приднестровского университета, 2016.
http://ceko-pmr.org/Home/PodgotKEGE?current=Математика