ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Калугина Д.С. 1Аксененко С.М. 1
1МОУ СОШ №4 п. Карымское
Мищенко И.И. 1
1МОУ СОШ №4 п. Карымское


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Всем известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое без остатка. Если устанавливать факт делимости простым делением, то можно затратить лишнее время, допустить ошибки и т.д. Признаки делимости помогают, не производя вычислений, установить, делится ли одно натуральное число на другое, сэкономить время для решения других заданий, избежать вычислительных ошибок.

Считая эту тему актуальной, мы решили написать научно – исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Существуют иные признаки делимости чисел, помимо изученных в школьном курсе математики.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Установить, имеются ли иные признаки делимости натуральных чисел, кроме изученных в школьном курсе математики.

Новизна: В ходе написания научно – исследовательской работы, анализа и обобщения полученных результатов, мы пополнили свои знания, поделились ими с другими учениками.

Анкетирование обучающихся 5 – 11 класса показало, что 85% обучающихся считают необходимым узнать о наличии иных признаков делимости помимо изученных в школе. Кроме того, решение предложенной задачи выявило, что лишь 27% обучающихся могут применять признаки делимости к решению задач, хотя это умение необходимо, в том числе, для решения задачи №19 на ЕГЭ по математике базового уровня. Материалы, полученные и оформленные по итогам работы, могут быть использованы на уроках математики, внеклассных занятиях, при подготовке к олимпиадам и экзаменам.

Эмпирические методы исследования:

1. Поисковый метод: использование научной и учебной литературы для поиска сведений, на которые мы будем опираться при проведении исследований и написании научной статьи, поиск необходимой информации на сайтах сети Интернет.

Аналитический метод: тщательный анализ найденного материала, проверка его на логичность, достоверность, актуальность.

Социальный опрос: постановка конкретных вопросов окружающим в беседе и анкетировании, оформление итогов опроса в виде диаграмм.

Теоретические методы исследования:

Анализ: подробное изучение каждого признака делимости, их классификация.

Оформление результатов исследования, формулирование выводов.

Просветительская деятельность.

Практические методы исследования: 

Исследование возможности применения признаков делимости при решении различных задач на уроках и во внеурочной деятельности.

Задачи:

1). Самостоятельно исследовать иные признаки делимости, кроме изученных на уроках математики, выполнить доказательства некоторых признаков делимости.

2). Изучить дополнительную литературу, иные источники информации по данной теме, в которых подтверждается правильность выдвинутой нами гипотезы о существовании иных признаков делимости.

3). Рассмотреть примеры на применение признаков делимости при выполнении арифметических действий, применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

4). Провести анкетирование обучающихся 5-11 классов.

5). Проанализировать полученную информацию.

6). Оформить материалы исследования.

7). Выпустить информационный сборник «Признаки делимости натуральных чисел».

Основная часть.

Теоретическая часть.

Данная работа содержит исследование, изучение и практическое применение признаков делимости, которые не изучаются либо изучаются без доказательства в школьном курсе математики. Знание этих признаков и умение применять их на практике имеет большое значение при решении олимпиадных и экзаменационных заданий, в жизненных ситуациях.

На уроках математики в 5 классе мы изучили признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 4. Проблем при изучении данной темы не возникало. Мы выучили признаки делимости и научились их применять при выполнении заданий. В процессе изучения курса математики мы столкнулись с определенными трудностями при делении чисел на натуральное число, признаки делимости на которые мы не изучали ранее. Нас заинтересовал вопрос, а нет ли других признаков делимости, так как при изучении последующих тем, в частности, темы «Квадратные корни», изученных признаков делимости оказалось недостаточно. Вопрос о наличии других признаков делимости возник и при выполнении заданий, в том числе олимпиадных, на дополнительных и внеурочных занятиях по математике, а также при подготовке к олимпиаде по математике. Кроме того, в проверочной работе нам была предложена задача №19 из КИМ ЕГЭ по математике для 11 класса базового уровня. Знание других признаков делимости значительно облегчило бы решение данного типа задач.

2.2. Практическая часть.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. С некоторыми признаками делимости мы познакомились в курсе математики 5 класса. Однако возник обоснованный вопрос, а можно ли вывести общий признак делимости на натуральное число?

Поскольку в школьном курсе математики не изучается признак делимости на 6, попробуем его вывести с помощью свойств и признаков делимости натуральных чисел.

Исследование признака делимости на 6.

Число 6 состоит из двух простых множителей: 3 и 2. Предполагаем, что на 6 должно делиться то число, которое делится и на 2, и на 3. На 2 делятся те числа, которые оканчиваются на 0, 2, 4, 6, 8, то есть четные числа. На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3, значит на 6 делится четное число, сумма цифр которого делится на 3. Умножая многозначные числа на 6, мы

обнаружили закономерность: получившиеся в результате умножения числа являются четными, а сумма их цифр делится на 3.

Проверим правильность своих выводов на примере.

Пример 1.

Не выполняя деления, установить, делится ли число 2835102 на число 6.

Число 2835102 оканчивается на цифру 2, значит оно делится на 2.

Сумма цифр числа 2835102 равна 21, 21 делится на 3, значит число 2835102 делится на 3.

Можно предположить, что число 2835102 делится на 6.

Проверим наше предположение простым делением данного числа на 6.

2835102:6 = 472517.

Следовательно, сделанный нами вывод о признаке делимости на 6 верен.

На 6 делится четное число, сумма цифр которого делится на 3.

Однако при исследовании возможности применить подобное рассуждение к числам, состоящим из нескольких простых множителей или к числам многозначным, выяснилось, что применение данного способа бывает затруднительным.

Возникла необходимость изучения и исследования общего признака делимости чисел на натуральное число.

Общий признак делимости – признак делимости на натуральное число связан с именем знаменитого французского математика, физика и философа Блеза Паскаля (краткая биография в Сборнике)1.

Попробуем сделать вывод «признака Паскаля» и рассмотреть некоторые его следствия.

Натуральные числа можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 756 = 6*1 + 5*10 + 7*102; число 2354 = 4*1 + 5*10 + 3*102 + 103;

2835102 = 2*1 + 1*102 + 5*103 + 3*104 + 8*105 + 2*106 и т.д.

Вообще, если мы имеем некоторое (n + 1) – значное число А, то его можно записать в виде А = a0*1 + a1*10 + a2*102 + … + an*10n, где a0, a1, a2, …, an – его разрядные единицы. Установим делимость натурального числа А на натуральное число b 1. Пусть q0 и r0, q1 и r1, q2 и r2, …, qnи rn – соответственно частные и остатки от деления чисел 1 = 100, 10, 102, …, 10n на b (0 rn ˂ b).

Тогда

1 = bq0 + r0,

10 = bq1 + r1,

102 = bq2 + r2,

………………

10n = bqn + rnи

А = a0* (bq0 + r0) + a1* (bq1 + r1) + a2* (bq2 + r2) + ... + an* (bqn + rn), или, учитывая q0 = 0, имеем:

A = b (a1q1 + a2q2 + … + anqn ) + (a0r0 + a1r1 + … + anrn).

Первое слагаемое в правой части равенства делится на b. Поэтому если А делится на b, то и второе слагаемое делится на b. Наоборот, если второе слагаемое делится на b, то и А делится на b. Это и есть «признак Паскаля»2: если число А делится на число b 1, то сумма a0r0 + a1r1 + … + anrn делится на b; если сумма a0r0 + a1r1 + … + anrn делится на b, то и А делится на b.

Пример 2.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 5641713 на число 29.

r0 = 1, r1 = 10, r2 = 13, r3 = 14, r4 = 24, r5 = 8, r6 = 22.

Число 3*1 + 1*10 + 7*13 + 1*14 + 4*24 + 6*8 + 5*22 = 372 не делится на число 29,

то и число 5641713 не делится на число 29.

Пример 3.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 2835102 на число 6.

r0 = 1, r1 = 4, r2 = 4, r3 = 4, r4 = 4, r5 = 4, r6 = 4.

Число 2*1 + 0*4 + 1*4 + 5*4 + 3*4 + 8*4 + 2*4 = 78 делится на число 6,

то и число 2835102 делится на число 6.

Таким образом «признак Паскаля» сводится к вычислению суммы a0r0 + a1r1 + … + anrn.

Главным его недостатком является вычисление остатков r0, r1, r2, …, rnнепосредственным делением степеней числа 10 на число b. От этих остатков и зависит вычислительная работа в приведенной выше сумме. Если эта работа большая, то «признаком Паскаля» пользоваться нецелесообразно, а делимость чисел лучше проверить непосредственным делением.

Проверим с помощью «признака Паскаля» изученные нами признаки делимости.

Пример 4.

Пусть b = 2, тогда r0 = 1, r1 = r2 = …= rn = 0, ипоэтому a0*1 + a1*0 + a2*0 + … + an*0 = a0.

Число делится на 2, если оно четно, т.е. последняя его цифра делится на 2. Получаем признак делимости на 2.

Пример 5.

Пусть b = 9, тогда r0 = r1 = r2 = …= rn = 1 ипоэтому a0*1 + a1*1 + a2*1 + … + an*1 = a0 + a1 + a2 + … + an. Это сумма цифр числа А. Она и определяет признак делимости числа А на 9.

Исследование признака делимости на 11 с помощью «признака Паскаля».

Пусть b = 11, тогда r0 = 1, r1 = 10, r2 = …= rn-1 = 1, rn = 10, и мы имеем:

a0*1 + a1*10 + a2*1 + … + an-1*1 + an*10 = (a0 + a2 + … + an-1) + 10*( a1 + a3 + … + an) в случае четного количества цифр делимого. Если в делимом нечетное количество цифр, то в первой скобке в равенстве будет на одно слагаемое больше, чем во второй.

Попробуем упростить полученное равенство. Замечаем, что при делении чисел 10, 103, 105, … на 11 остаток равен 10, то есть не хватает единицы до числа, делящегося на 11. Эту недостающую единицу попробуем взять со знаком «минус». Обозначив недостатки через rn, вместо выражения a0*1 + a1*10 + a2*1 + … + an-1*1 + an*10 = (a0 + a2 + … + an-1) + 10*( a1 + a3 + … + an) получаем

(a0 + a2 + … + an-1) - ( a1 + a3 + … + an). Данное соотношение можно определить как признак делимости на 11.

На 11 делится число, в котором разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.

Пример 7.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 543675 на 11.

Вычислим суммы цифр числа, стоящие на четных и нечетных местах, и найдем их разность.

5 + 6 + 4 = 15, 7 + 3 + 5 = 15, 15 – 15 = 0, 0 делится на 11, значит, число 543675 делится на 11.

Проверим наш вывод простым делением.

543675:11 = 49425.

Таким образом можно сделать вывод о том, что, используя «признак Паскаля», можно доказать признаки делимости на некоторые простые и составные числа.

Исследовав подобным образом делимость чисел на 7,13, 19, мы получили следующие признаки делимости.

Если результат вычитания удвоенной последней цифры числа из этого числа без последней цифры делится на 7, то и само число делится на 7.

Если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13, то и само число делится на 13.

Если в натуральном числе число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19, то и само число делится на 19.

Пример 8.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 352835 на 7.

35283 – 10 = 35273,

3527 – 6 = 3521,

352 – 2 = 350.

Число 350 делится на 7, значит числа 3521, 35273, 352835 делятся на 7.

Проверим наш вывод простым делением.

352835 : 7 = 50405.

Пример 9.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 6279 на 13.

279 – 6 = 273.

273 : 13 = 21, следовательно, число 6279 делится на 13.

Проверим наш вывод простым делением.

6279 : 13 = 483.

Пример 10.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 1824 на 19.

182 + 2*4 = 190.

Число 190 делится на 19, следовательно, число 1824 делится на 19.

Проверим наш вывод простым делением.

1824 : 19 = 96.

Применение признаков делимости при решении задач3.

Задача 1.

Маугли попросил своих друзей – обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли достались лишь 35 орехов. По сколько орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?

Решение: Так как обезьяны собрали орехов поровну и поровну бросили, то и принесли они поровну. Число 35 делится на 5, поэтому имеем 5*7 = 35. Возможны два варианта:

1). Обезьян было 5, принесли по 7 орехов, бросили по 4 ореха, значит, каждая собрала 7 + 4 = 11.

2). Обезьян было 7, принесли по 5 орехов, бросили по 6 орехов, значит, каждая собрала 5 + 6 = 11.

Ответ: по 11 орехов.

Задача 2.

К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45.

Решение:

Сумма цифр этого числа должна делиться на 9, само число должно делиться на 5, значит последняя цифра 0 или 5. а дальше подбираем первую цифру так, чтобы сумма цифр делилась на 9.
1260: 1 + 2 + 6 + 0 = 9.

5265: 5 + 2 + 6 + 5 = 18.

Ответ: 1260 или 5265

Задача 3.

Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12.

Решение:

Число должно быть кратно 11, то есть разность цифр, стоящих на чётных позициях и цифр, стоящих на нечётных позициях должна делиться на 11. Рассмотрим случай, когда их разность равна 0. Заметим, что 0 не должен встречаться, так как при умножении на 0 получим 0. Так как число наименьшее, возьмём первую цифру 1. Число примет вид 1abc. И так 1 + b = a + c и 1*a*b*c=12. При этом если представить 12 в виде произведения 4-х чисел, то получим

12 = 1* 2*3*2, при этом 2+2 = 3+1 и получаем 1232.

Ответ:1232

Найденные и проанализированные нами примеры и задачи подтверждают необходимость изучения признаков делимости чисел и отработки умения их применять.

4. Заключение.

Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел, можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел. Практически все известные ныне признаки делимости являются следствием общего признака делимости – «признака Паскаля».

Признаки делимости часто используются при решении олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах. В процессе работы мы познакомились с историей развития признаков делимости натуральных чисел. Самостоятельно правильно сформулировали несколько признаков делимости, чему нашли подтверждение из дополнительной литературы.   Работая с разными источниками, мы убедились в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 и т.д.), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы, интернет - ресурсов нашли задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления,  экономит время, исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложны.

В ходе проделанной работы был составлен информационный сборник, в котором сформулированы признаки делимости натуральных чисел, представлены подборки заданий разного типа с решением. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 5 - 11 классов, учителям для организации закрепления и повторения признаков делимости чисел, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Цель работы достигнута, план реализован.

5. Список используемой литературы.

1Википедия. https://ru.wikipedia.org/

2Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с. https://www.mathedu.ru/text/vorobjev_priznaki_delimosti_1980

3Лепёхин Ю. В. Олимпиадные задания по математике. 5 – 6 классы – Волгоград: Учитель, 2011. – 236 с. https://obuchalka.org/20190818112730/olimpiadnie-zadaniya-po-matematike-5-6-klassi-lepehin-u-v-2011.html

Приложение 1.

При реализации плана научно – исследовательской работы «Признаки делимости на натуральное число», обучающимся 5 – 11 классов была предложена АНКЕТА «Нужны ли нам признаки делимости натуральных чисел?». Варианты ответов обобщены при обработке результатов.

В анкетировании принимали участие 40 обучающихся, которым было предложено ответить на следующие вопросы:

Обязательно ли современному человеку уметь производить арифметические действия с натуральными числами? («Да» или «нет» и почему?)

Варианты ответов обучающихся:

Да, обязательно – 80 %.

Да, наверное – 12,5 %.

Не могу ответить – 2,5 %.

Нет, это не пригодится в жизни – 5 %.

Какие признаки делимости натуральных чисел Вы знаете?

Варианты ответов обучающихся:

Все изученные в школе – 7, 5 %.

Несколько – 40 %.

Один – два – 30 % .

Не знаю – 22,5 %.

Применяете ли Вы признаки делимости при вычислениях? Помогают ли признаки делимости чисел упростить вычисления?

Варианты ответов обучающихся:

Применяю – 75 %.

Иногда – 12,5 %.

Не могу ответить – 7,5 % .

Никогда – 5 %.

Хотелось бы Вам узнать о наличии иных признаков делимости?

Варианты ответов обучающихся:

Да, так как изученных в школе недостаточно – 35 %.

Да – 50 %.

Не знаю – 2,5 %.

Нет – 12,5 %.

Решите задачу с использованием признаков делимости.

К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45.

Варианты ответов обучающихся:

Верный ответ с приведенным решением – 27,5 %.

Верный ответ – 15 %.

Неверный ответ – 7,5 %.

Не могу решить – 50 %.

Результаты анкетирования оформлены в виде круговых диаграмм.

Приложение 2

Результаты анкетирования обучающихся 5 – 11 классов

«Нужны ли нам признаки делимости натуральных чисел?»

Приложение 3

Информационный сборник

«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

Авторы: Аксененко София, Калугина Дарья.

пос. Карымское, Забайкальский край

2019 г.

Приложение 3

Содержание:

Стр.

Признаки делимости, изучаемые в школьной программе. 3

Классификация признаков делимости. Свойства делимости. 4 - 5

Признак Паскаля. 6 - 7

Библиографические сведения. 8

Доказательство некоторых признаков делимости. 9 - 10

Сводная таблица признаков делимости. 11 - 12

Примеры с решением. 13 - 15

Задачи с решением. 16 - 19

Примеры и задачи для самостоятельного решения. 20 - 24

Список использованной литературы. 25

Интернет – ресурсы. 25

Старинная притча. 26

1.

Классификация признаков делимости. Свойства делимости.

Признак Паскаля.

Натуральные числа можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 756 = 6*1 + 5*10 + 7*102; число 2354 = 4*1 + 5*10 + 3*102 + 103;

2835102 = 2*1 + 1*102 + 5*103 + 3*104 + 8*105 + 2*106 и т.д.

Вообще, если мы имеем некоторое (n + 1) – значное число А, то его можно записать в виде А = a0*1 + a1*10 + a2*102 + … + an*10n, где a0, a1, a2, …, an – его разрядные единицы. Установим делимость натурального числа А на натуральное число b 1. Пусть q0 и r0, q1 и r1, q2 и r2, …, qnи rn – соответственно частные и остатки от деления чисел 1 = 100, 10, 102, …, 10n на b (0 rn ˂ b).

Тогда

1 = bq0 + r0,

10 = bq1 + r1,

102 = bq2 + r2,

………………

10n = bqn + rnи

А = a0* (bq0 + r0) + a1* (bq1 + r1) + a2* (bq2 + r2) + ... + an* (bqn + rn), или, учитывая q0 = 0, имеем:

A = b (a1q1 + a2q2 + … + anqn ) + (a0r0 + a1r1 + … + anrn).

Первое слагаемое в правой части равенства делится на b. Поэтому если А делится на b, то и второе слагаемое делится на b. Наоборот, если второе слагаемое делится на b, то и А делится на b. Это и есть «признак Паскаля»: если число А делится на число b 1, то сумма a0r0 + a1r1 + … + anrn делится на b; если сумма a0r0 + a1r1 + … + anrn делится на b, то и А делится на b.

Пример.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 5641713 на число 29.

r0 = 1, r1 = 10, r2 = 13, r3 = 14, r4 = 24, r5 = 8, r6 = 22.

Число 3*1 + 1*10 + 7*13 + 1*14 + 4*24 + 6*8 + 5*22 = 372 не делится на число 29,

то и число 5641713 не делится на число 29.

Пример.

Не выполняя деления, установим, делится ли число 2835102 на число 6.

r0 = 1, r1 = 4, r2 = 4, r3 = 4, r4 = 4, r5 = 4, r6 = 4.

Число 2*1 + 0*4 + 1*4 + 5*4 + 3*4 + 8*4 + 2*4 = 78 делится на число 6,

то и число 2835102 делится на число 6.

Таким образом «признак Паскаля» сводится к вычислению суммы a0r0 + a1r1 + … + anrn.

Пример.

Пусть b = 2, тогда r0 = 1, r1 = r2 = …= rn = 0, ипоэтому a0*1 + a1*0 + a2*0 + … + an*0 = a0.

Число делится на 2, если оно четно, т.е. последняя его цифра делится на 2. Получаем признак делимости на 2.

Пример.

Пусть b = 9, тогда r0 = r1 = r2 = …= rn = 1 и поэтому a0*1 + a1*1 + a2*1 + … + an*1 = a0 + a1 + a2 + … + an. Это сумма цифр числа А. Она и определяет признак делимости числа А на 9.

Пример.

Пусть b = 11, тогда r0 = 1, r1 = 10, r2 = …= rn-1 = 1, rn = 10, и мы имеем:

a0*1 + a1*10 + a2*1 + … + an-1*1 + an*10 = (a0 + a2 + … + an-1) + 10*( a1 + a3 + … + an) в случае четного количества цифр делимого. Если в делимом нечетное количество цифр, то в первой скобке в равенстве будет на одно слагаемое больше, чем во второй.

Попробуем упростить полученное равенство. Замечаем, что при делении чисел 10, 103, 105, … на 11 остаток равен 10, то есть не хватает единицы до числа, делящегося на 11. Эту недостающую единицу попробуем взять со знаком «минус». Обозначив недостатки через rn, вместо выражения a0*1 + a1*10 + a2*1 + … + an-1*1 + an*10 = (a0 + a2 + … + an-1) + 10*( a1 + a3 + … + an) получаем

(a0 + a2 + … + an-1) - ( a1 + a3 + … + an). Данное соотношение можно определить как признак делимости на 11.

На 11 делится число, в котором разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.

4. Библиографические сведения.

Блез Паскаль.

Блез Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Паскаль родился 19 июня 1623 года в Клермон-Ферран, в семье высокообразованного юриста. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности. Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался «на разного рода пустяки». Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.

Отец Блеза был сборщиком налогов, и, наблюдая за его бесконечными утомительными расчетами, Паскаль, в возрасте 19 лет, задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь этой работе. Он работал над этим устройством в течение трех лет. Устройство, называющееся "Паскалиной", выглядело как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колес. За несколько лет Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Паскаль получил лично от короля Патент на изобретение с сохранением авторских прав на ее изготовление и продажу. Несмотря на вызываемый «Паскалиной» всеобщий восторг, машина не принесла богатства своему создателю. Однако изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства вычислительных устройств. Во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.

5. Доказательство некоторых признаков делимости.

Признаки делимости на составное число.

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1.

Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5. Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере. Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
 

Признак делимости на 8.

Умножая многозначные натуральные числа на 8, заметим такую закономерность, числа, являющиеся произведением, оканчиваются на три нуля или три их последние цифры составляют число, которое делится на 8.
Значит, признак деления на 8 может быть таким:

Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры 0 или составляют число, делящееся на 8.
Проверим: число 45000:8 = 5625. 96008:8= 12001.

Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13. 
  Число делится на 7, 11 или 13, если алгебраическая сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи с чередующимися знаками делится соответственно на 7, 11 или 13. 
Заметим, что произведение чисел 7, 11 и 13 равно 1001. Поэтому число 1000 при делении на 7, 11 или 13 равноостаточно с –1. Далее поступаем как и в признаке делимости на 11. 
  В качестве примера рассмотрим число 286 = 623 – 295 - 42 делится на 11 и 13, но не делится на 7. Следовательно, и данное число делится на 11 и 13, но не делится на 7. 

Признак делимости на 37. 
  Число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37. 
  Доказательство вытекает из того, что число 1000 при делении на 37 равноостаточно с 1. 
  Заметим также, что трехзначные числа 111, 222, …, 999 делятся на 37. 

Признак делимости на 101.

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

Например: 590547 делится на 101, так как 59 – 05 + 47 = 101 делится на 101, значит и число 590547 делится на 101.

Усовершенствованный признак делимости на 7.

Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если полученное в результате число делится на 7, то и само число делится на 7.

6. Сводная таблица признаков делимости чисел

 Число

 

 Число а делится на число b тогда и только тогда, когда

 2

 Последняя цифра числа   делится на 2

 3

 Сумма цифр числа   делится на 3

 4

 Число, составленное из двух последних цифр числа  , делится на 4

 5

 Число   оканчивается цифрой 0 или 5

 6

 Число   делится на 2 и на 3

 7

 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа   делится на 7

 

Если результат вычитания удвоенной последней цифры числа из этого числа без последней цифры делится на 7, то и само число делится на 7.

 8

 Число, составленное из трёх последних цифр числа  , делится на 8

 9

 Сумма цифр числа   делится на 9

 10

 Число   оканчивается цифрой 0

 11

 Знакочередующаяся сумма цифр числа   делится на 11

 

На 11 делится число, в котором разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.

 12

 Число   делится на 3 и на 4

 13

 Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней*   делится на 13

 

Если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13, то и само число делится на 13.

 25

 Число, составленное из двух последних цифр числа  , делится на 25

19

Если в натуральном числе число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19, то и само число делится на 19.

   
   
   

7. Примеры с решением.

1. Является ли 13 делителем числа 116519?

Решение: В числе 116519 последние три цифры образую число 519, а оставшиеся 116.

Найдем разность 519 – 116 = 403.

Чтобы узнать делится ли оно на 13, найдем сумму его десятков и учетверённое число единиц: 40 + 4 * 3 = 52.

Число 52 делится на 13, а, значит, 13 является делителем 116519.

Ответ: Да.

2. Делится ли число 110213608442 на 7?

Решение:

Найдем суммы

   110 + 608 = 718

213 + 442 = 655

  и разность полученных результатов

718 – 655 = 63.

  Число 63 делится на 7, а значит и 110213608442 делится на 7

Ответ: Да.

3. Делится ли число 175 на 7?

Решение:

В числе 175 имеется 17 десятков и 5 единиц, поэтому найдем следующую сумму

 17 * 3 + 5 = 56,

а число 56 делится на 7. Следовательно число 175 делится на 7.

Ответ: Да.

4. Не выполняя деления, установим, делится ли число 5641713 на число 29.

Решение:

r0 = 1, r1 = 10, r2 = 13, r3 = 14, r4 = 24, r5 = 8, r6 = 22.

Число 3*1 + 1*10 + 7*13 + 1*14 + 4*24 + 6*8 + 5*22 = 372 не делится на число 29,

то и число 5641713 не делится на число 29.

5. Не выполняя деления, установить, делится ли число 543675 на 11.

Решение:

Вычислим суммы цифр числа, стоящие на четных и нечетных местах, и найдем их разность.

5 + 6 + 4 = 15, 7 + 3 + 5 = 15, 15 – 15 = 0, 0 делится на 11, значит, число 543675 делится на 11.

6. Не выполняя деления, установим, делится ли число 2835102 на число 6.

r0 = 1, r1 = 4, r2 = 4, r3 = 4, r4 = 4, r5 = 4, r6 = 4.

Решение:

Число 2*1 + 0*4 + 1*4 + 5*4 + 3*4 + 8*4 + 2*4 = 78 делится на число 6,

то и число 2835102 делится на число 6.

7. Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке 3. Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на 72 больше первоначального. Найдите исходное число.

Решение:

Для удобства назовем наше число abc, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – сотни, b – десятки и c – единицы. По условию задачи при делении на 10 числа в остатке получается 3. Это возможно только в одном случае: если число заканчивается на 3, то есть c = 3, а число на данный момент равно ab3. Если перенесем последнюю цифру в начало, то получим число 3ab. Прибавим к числу ab3 число 72 столбиком и получим результат:

Цифры a и b вычисляются достаточно быстро. В разряде единиц к 3 прибавляем 2 и получаем, что b = 5. Заменяем все b в примере. В разряде десятков к найденному b прибавляем 7 и получаем 12. Таким образом,

а = 2, а единица переходит в разряд сотен, так как разряд десятков переполнен. Заменили в примере все a и убедились, что если к 2 прибавить единицу, которая перешла из разряда десятков, получится 3. Таким образом, искомое число равно 253.

ОТВЕТ: 253

8. Число яблок в ящике меньше 200. Их можно разделить поровну между 2,3,4,5 и 6 детьми. Какое максимальное количество яблок может быть в ящике?

Решение.

НОК(2,3,4,5,6) = 60.

60х < 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Ответ: 180 яблок.

9. Можно ли 2006 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Если бы 2006 = a2 – b2 = (a – b)(a + b), то или a – b или a + b было бы четным числом. Но тогда и другое число было бы четным, а значит, a2 – b2 делилось бы на 4. Но 2006 не делится на 4.

Ответ. Нет.

8. ЗАДАЧИ с решением.

1. Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ: Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи abcd < 1360. Сразу же делаем вывод, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не требуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 2 или 3, чтобы попасть в интервал. Пусть b равно 2, тогда в данный момент число равно 12cd. Чтобы число делилось на 2, нужно, чтобы оно было четным, то есть d может быть равно 4, или 6, или 8 (0 нельзя использовать по условию, а цифра 2 уже использована). Если d равно 4, текущее число равно 12c4. Чтобы оно делилось на 4, нужно чтобы число c4, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. Таким образом, c может быть равно: c = 3: 34 не делится на 4, c = 5: 54 не делится на 4, c = 6: 64 / 4 = 16 ⇒ число равно 1264, c = 7: 74 не делится на 4, c = 8: 84 / 4 = 21 ⇒ число равно 1284, c = 9: 94 не делится на 4. Если число равно 1264, оно должно делиться на 6 (быть четным, и сумма цифр числа должна делиться на 3). Число является четным, однако сумма цифр равна 13, и она не делится на 3. То есть число 1264 не подходит. Если число равно 1284, оно должно делиться на 8 (число, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8). 284 на 8 нацело не делится. То есть число 1284 не подходит. Если d равно 6, текущее число равно 12c6. Чтобы число делилось на 6, нужно, чтобы оно было четным, и сумма цифр делилась на 3. Число четным является, сумма цифр числа равна: 1 + 2 + c + 6 = c + 9. Получается, что цифра c может быть равна 3 или 9, тогда сумма цифр будет делиться на 3 (6 не подходит, так как уже d = 6). Если c = 3, число равно 1236, оно должно делиться на 3, то есть сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа равна 12, она делится на 3, значит, число 1236 подходит в качестве ответа. Если c = 9, число равно 1296, оно должно делиться на 9, то есть сумма цифр должна делиться на 9. Сумма цифр числа равна 18, она делится на 9, значит, число 1296 подходит в качестве ответа. Если d равно 8, текущее число равно 12c8. Чтобы число делилось на 8, нужно чтобы число 2c8, составленное из 3 последних цифр, делилось на 8. Не забываем, что цифры в числе не могут повторяться. Таким образом, c может быть равно: c = 3: 238 не делится на 8, c = 4: 248 / 8 = 31 ⇒ число равно 1248, c = 5: 258 не делится на 8, c = 6: 268 не делится на 8, c = 7: 278 не делится на 8, c = 9: 298 не делится на 8. Если число равно 1248, оно должно делиться на 4. Так как это число делится на 8, то оно делится и на 4 (4 является множителем для 8). Значит, число 1248 подходит в качестве ответа. Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Сумма цифр числа равна: 1 + 3 + c + d = 4 + c + d. Цифра c может быть равна 2, или 4, или 5 (не больше, так как число должно быть меньше 1360, а цифры 1 и 3 уже использованы). Если c равно 2, текущее число равно 132d. Текущая сумма цифр равна 6 + d. Чтобы число делилось на 2, нужно чтобы оно было четным. Значит d может быть равно: d = 4: число равно 1324, сумма цифр равна 10, не делится на 3,

d = 6: число равно 1326, сумма цифр равна 12, делится на 3, d = 8: число равно 1328, сумма цифр равна 14, не делится на 3. Если число равно 1326, оно должно делиться на 6. Чтобы число делилось на 6, нужно, чтобы оно было четным, и сумма цифр делилась на 3. Число является четным, сумма цифр на 3 делится. Значит, число 1326 подходит в качестве ответа. Если c равно 4, текущее число равно 134d. Текущая сумма цифр равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно, чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4.То есть, d может быть равно 8 (цифра 4 уже используется, 0 использовать нельзя по условию). Однако сумма цифр числа равна 16, и она не делится на 3. Значит, это число не подойдет в качестве ответа. Если c равно 5, текущее число равно 135d. Текущая сумма цифр равна 9 + d. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Однако, по условию в числе не может быть цифры 0, а цифра 5 уже использована. Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1236, 1248, 1296 или 1326.

ОТВЕТ: 1236, или 1296, или 1248, или 1326.

2. Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Для удобства назовем наше число abcd, где каждая буква обозначает конкретный разряд числа: a – тысячи, b – сотни, c – десятки и d – единицы. По условию задачи 1340 < abcd < 1640. Сразу же делаем вывод, что a = 1. Любое число делится на 1, поэтому дополнительных проверок делимости для этой цифры не потребуется. Так как все цифры должны быть разными, b должно быть равно 3, 4, 5 или 6, чтобы попасть в интервал. Пусть b равно 3, тогда в данный момент число равно 13cd. Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

В данном случае сумма цифр равна: 1 + 3 + c + d = 4 + c + d. Чтобы попадать в интервал, нужно, чтобы c было равно 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Если c равно 4, число будет равно 134d. Сумма цифр будет равна 8 + d. Чтобы число делилось на 4, нужно, чтобы число 4d, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4. На 4 делятся числа 40, 44 или 48. Цифра d может быть равна только 8, так как по условию 0 не может быть в числе, а 4 уже есть в числе. Если d равно 8, число равно 1348, сумма цифр равна 16, она не делится на 3, поэтому число не подойдет. Если c равно 5, число будет равно 135d. Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5, но ни то, ни другое невозможно. Если c равно 6, число будет равно 136d. Сумма цифр будет равна 10 + d. Чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным и делиться на 3. Значит, d может быть равно 2, 4 или 8 (6 уже использовано, 0 нельзя использовать). Если d равно 2, число равно 1362, сумма его цифр равна 12 и она делится на 3. Также это число является четным. Таким образом, число делится на каждую свою цифру и может быть указано в качестве ответа. Если d равно 4, число равно 1364, сумма его цифр равна 14, она не делится на 3. Если d равно 8, число равно 1368, сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. Также это число должно делиться на 8, для этого число 368, составленное из 3 последних цифр, должно делиться на 8. Оно делится на 8, значит, это число можно указать в качестве ответа. Если c равно 7, число будет равно 137d. Сумма его цифр будет равна 11 + d. Попробуем подобрать такую цифру d, чтобы сумма цифр делилась на 3. А уже потом разделим получившееся число на 7 для проверки. Цифра d может быть равна только 4 ( 1 и 7 уже использованы), так как сумма будет равна 15, и она делится на 3,число равно 1374. Чтобы оно делилось на 4, нужно, чтобы число, составленное из 2 последних цифр, делилось на 4, а 74 на 4 не делится. То есть число 1374 не подойдет. Если c равно 8, число будет равно 138d. Сумма цифр числа будет равна 12 + d. Чтобы число делилось на 8, нужно, чтобы число 38d делилось на 8. Значит цифра d может быть равна 4 (384/8 = 48). В этом случае число равно 1384. Сумма его цифр равна 16, она не делится на 3, значит число не подойдет. Если c равно 9, число будет равно 139d. Сумма цифр числа будет равна 13 + d. Чтобы число делилось на 9, нужно чтобы сумма его цифр делилась на 9. Цифра d в данном случае может быть равна только 5. Если число равно 1395, сумма его цифр также делится и на 3. Число также должно делиться на 5, то есть заканчиваться на 5. Это условие также соблюдается. Значит, число 1395 подойдет в качестве ответа. Пусть b равно 4, тогда в данный момент число равно 14cd. Чтобы число 14cd делилось на 4, нужно чтобы число cd делилось на 4.

Подберем возможные числа cd, чтобы в них не было цифр 1,4 и 0 и цифры были разными, которые будут делиться на 4: 28, 32, 36, 52, 56, 68, 72, 76, 92, 96. Пусть итоговое число равно: 1428: оно делится на 2, так как четное. Но 428 не делится на 8, значит и само число на 8 не делится. 1432: оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 10, она не делится на 3. Значит и число 1432 на 3 не делится. 1436: достаточно проверить, делится ли оно на 6, так как 3 является множителем у 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Число четное (делится на 2), а сумма цифр равна 14, она не делится на 3. 1452 или 1456: оно не делится на 5, так как заканчивается не на 5. 1468: оно четное (делится на 2), сумма цифр равна 19, она не делится на 3. Значит, число на 6 не делится. 1472: оно делится на 2, так как четное. Однако число не делится нацело на 7. 1476: оно четное, сумма цифр равна 18, значит, число делится на 6. Однако это число не делится на 7. 1492: оно делится на 2, так как четное. Сумма цифр числа равна 16, она не делится на 9. 1496: сумма цифр числа равна 20, она не делится на 9. Пусть b равно 5, тогда в данный момент число равно 15cd. Чтобы число делилось на 5, нужно чтобы оно заканчивалось на 5 или 0. Число не может заканчиваться на 0 по условию задачи, а также цифра 5 не может повторяться в числе. Пусть b равно 6, тогда в данный момент число равно 16cd. Чтобы число делилось на 6, нужно чтобы число было четным и сумма цифр числа делилась на 3. В данном случае сумма цифр равна: 1 + 6 + c + d = 7 + c + d. Чтобы попадать в интервал, нужно, чтобы c было равно 2 или 3. Если c равно 2, число будет равно 162d. Сумма цифр числа равна 9 + d. Значит, d может быть равно 3 или 9 (чтобы сумма делилась на 3). Однако ни тот, ни другой вариант не подойдет, так как число должно быть четным. Если c равно 3, число будет равно 163d. Сумма цифр числа равна 10 + d. Значит, d может быть равно 2, 5 или 8 (чтобы сумма делилась на 3). Цифра 5 не подойдет, так как число не будет четным. Этим мы сразу же проверили делимость числа на 3 и на 6. Осталось проверить цифры 2 и 8. Если число равно 1632, оно является четным (делится на 2), значит, его можно указать в качестве ответа. Если число равно 1638, то нужно проверить, делится ли оно на 8. Однако на 8 оно не делится, так как 638 на 8 нацело не делится. Таким образом, в ответе можно указать одно из следующих чисел: 1362, 1368, 1395 или 1632. Достаточно было получить первое число и закончить на этом решение, но мы показали, как можно отыскать все возможные варианты.

ОТВЕТ: 1362, или 1368, или 1395, или 1632.


3.Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое – нибудь одно такое число.

Решение: Раскладываем делитель – число 12 на простые множители. 12 = 3 * 2 * 2. Делаем вывод, что заданное число после вычеркивания цифр должно делиться на 2, 2 и 3. На два делятся четные числа, следовательно, вычеркиваем цифру 1 в конце числа. Останется 18161512. Но нам нужно, чтобы искомое число делилось на 2 дважды, то есть на 4. Признак делимости на 4 утверждает, что для этого на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на обе двойки.

Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. 1+8+1+6+1+5+1+2 = 25, 25 = 3*8 + 1 – можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры. 25 = 3*7 + 4 – нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, так как последние цифры 1 и 2 трогать нельзя. 25 = 3*6 + 7 – сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть цифру шесть и любую из цифр 1, кроме последней. Итак, возможные ответы 811512 или 181512. Выбираем один из вариантов и записываем ответ.

4. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение: Чтобы заданное число 85417627 делилось на 18, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 9. Чтобы число делилось на 2, оно должно быть четным. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Число 85417627 четным не является. Чтобы оно стало четным, из него нужно вычеркнуть последнюю цифру 7. Осталось вычеркнуть 2 цифры. После этого получилось число 8541762. Найдем сумму его цифр: 8 + 5 + 4 + 1 + 7 + 6 + 2 = 33 Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна составлять 27 или 18 или 9. Число 27 отличается от 33 на 6 — это 4 + 2 или 5 + 1. Если вычеркнуть цифры 4 и 2, новое число 85176 останется четным и сумма его цифр равна 27, поэтому оно делится нацело на 18. Если вычеркнуть цифры 5 и 1, новое число 84762 останется четным и сумма его цифр равна 27, поэтому оно также делится нацело на 18. В качестве ответа можно выписать любое из них. Число 18 отличается от 33 на 15 — это 8 + 7. Если вычеркнуть цифры 8 и 7, новое число 54162 останется четным и сумма его цифр равна 18, поэтому оно делится нацело на 18. И это число также подойдет в качестве ответа. Сумму цифр числа, равную 9, получить вычеркиванием двух цифр не получится.

ОТВЕТ: 85176, или 84762, или 54162

9. Примеры и задачи для самостоятельного решения.

1. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3 и которое записано тремя различными нечётными цифрами.

2. Будет ли число 6375 делиться на 15?

3. Записать, используя по одному разу цифры 0, 1, 4, 7, наибольшее и наименьшее четырехзначные числа, кратные 15.

4. Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 даёт остаток 3 и которое записано тремя различными нечётными цифрами.

5. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

6. Найдите наименьшее пятизначное число, кратное 55, произведение цифр которого больше 50, но меньше 75.

7. К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45.

8. Маугли попросил своих друзей – обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли Маугли. Но по дороге поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли достались лишь 35 орехов. По сколько орехов обезьяны собрали, если известно, что каждая из них принесла больше одного ореха?

9. Не выполняя деления, установить, делится ли число 352835 на 7.

10. Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 34,5 рубля, коробку творога, стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

11.  Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

12. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9.

а) 360- 144; 6) 946-540; в) 30240-97.

13. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:

а) 284 + 1440 + 113; в) 284 + 1441+ 113;

б) 284+ 1440 + 792224; г) 284+ 1441 + 113+ 164.

14. Записать, используя по одному разу цифры 0, 1, 4, 7, наибольшее и наименьшее четырехзначные числа, кратные 15.

15. Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

16. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

17. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

18. Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

19. Вовочка написал в тетради число 65349*0712 в качестве примера числа, которое делится: а) на 9; б) на 3. (На месте звёздочки когда-то была написана цифра, а теперь там пятно от сладкого чая.) Помогите Вовочке восстановить пропущенную цифру. Укажите все возможные варианты!

20. В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

21. Если из задуманного трехзначного числа вычесть .Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано? наименьшее из возможных чисел задумано?

22. Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

23. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.

24. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число. 

25. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.

26. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат? 

27. Пять участников олимпиады стали её победителями, набрав по 15, 14, 13 баллов и заняв соответственно первое, второе и третье места. Сколько участников завоевали каждое призовое место, если вместе они набрали 69 баллов?

28. Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?

29. Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

30. Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка

на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

31. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у Шарика. Доказать, что изначально количество денег у Матроскина делилось на 71 (имеется в виду, что у Матроскина и Шарика во всех ситуациях было целое количество денег).

32. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.

33. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.

34. Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Проезжающий мимо всадник нечаянно толкнул ее, и все яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она ответила: «Когда я их раскладывала по 2, то одно яйцо осталось. То же самое произошло, когда я их раскладывала по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда я их разложила по 7, то остатка не оказалось». Сколько было яиц у крестьянки?

35. Докажите, что число 49100 – 1450 кратно 5.

36. Доказать, что 9110+4210 – 8510 кратно 10.

37. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10 раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

38. Найдите наибольшее шестизначное число в записи которого есть только цифры 1 и 5 и оно делится на 3 и на 5.

39. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - 2,  на 4 - 3,  на 5 - 4,  на 6 - 5, на  7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 – 9.

40. На складе  имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше  300, но меньше 400.  Если ножи и вилки вместе считать десятками или   дюжинами,  то  в  обоих  случаях  получается  целое число десятков и целое  число  дюжин. Сколько  было  ножей и  вилок на складе,  если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Желаем вам успехов в изучении темы

«Делимость чисел. Признаки делимости»!

Просмотров работы: 73