IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Введение.
Математизация науки состоит не в том, чтобы исключить из процесса познания наблюдение и эксперимент. Они являются непременными составными частями полноценного изучения явлений окружающего нас мира (Диалоги о математике. А. Реньи).
Данная работа содержит более глубокое исследование одного из математических понятий – фигурного числа, которое не изучается в школьном курсе математики, а также исследование возможностей практического применения фигурных чисел в повседневной жизни. В работе приведена классификация фигурных чисел, их виды, методы конструирования фигурных чисел, занимательные задачи по теме. Нам было интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому мы провели социальный опрос среди учащихся 6х классов, учителей, граждан. Опрос выявил, что всего 7% учащихся знают, какие числа называются фигурными, 71,2% считают, что фигурные числа – это красивые числа, 2,7 % думают, что это объёмные фигуры, 1 % предполагают, что эти числа изобрели древние греки, остальные сказали, что не имеют понятия, что это такое. Лишь девятая часть опрошенных считает, что мы часто встречаемся с фигурными числами в повседневной жизни. Исходя из результатов опроса, мы решили, что данная тема нова и актуальна. В ходе исследовательской работы мы вывели формулы для вычисления некоторых фигурных чисел, научились их моделировать с помощью «камушков» и с помощью компьютерной программы GeoGebra, научили этому других. Провели просветительскую работу среди учащихся 6х – 7х классов и других граждан.
Цель: Изучить теорию фигурных чисел, исследовать практическую значимость фигурных чисел и возможность их применения в повседневной жизни.
Задачи:
Изучить историю возникновения фигурных чисел,
Провести социальный опрос по данной теме.
Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной теме и проанализировать его.
Выяснить, на какие виды фигурные числа делятся, исследовать возможность применения фигурных чисел (плоских и пространственных) при изучении школьных предметов и в повседневной жизни.
Научиться моделировать различные виды фигурных чисел и научить этому других, как наглядным методом, так и с помощью компьютерных программ.
Гипотеза: Существуют числа, которые можно сконструировать в виде геометрических моделей (фигур и тел) и которые находят применение в окружающем мире.
При работе над темой и написании научной статьи нами применялись следующие методы исследования.
Эмпирические методы исследования:
1. Поисковый метод: использование научной и учебной литературы для поиска сведений, на которые мы будем опираться при проведении исследований и написании научной статьи, поиск необходимой информации.
Аналитический метод: тщательный анализ найденного материала, проверка его на логичность, достоверность, актуальность.
Социальный опрос: постановка конкретных вопросов окружающим в беседе и анкетировании, оформление итогов опроса в виде диаграмм.
Теоретические методы исследования:
Анализ: подробное изучение каждого вида фигурных чисел, их классификация.
Оформление результатов исследования, формулирование выводов.
Просветительская деятельность.
Практические методы исследования:
Конструирование и моделирование фигурных чисел. Исследование возможности и поиск практического их применения на школьных занятиях и в повседневной жизни.
2. Основная часть.
Теоретическая часть.
На уроке математики, знакомясь с историческими сведениями по теме «Действия с дробями», мы узнали о существовании фигурных чисел. Нас заинтересовало это название, и возник закономерный вопрос: «Почему числа называются фигурными? Может быть они просто красиво, «фигурно», изображаются? Или эти числа как-то связаны с какими – то фигурами?» Однако наш учитель математики не стала на него отвечать, а предложила самим отыскать информацию об этом в различных источниках и рассказать остальным ребятам о том, что нам удалось узнать. Тема нас заинтересовала, и мы решили провести своеобразное ее исследование. В одном из источников в сети Интернет мы нашли высказывание Оскара Иоахима Беркера, немецкого философа, логика, математика, историка математики, жившего в 1889 – 1964 годах в Германии, который говорил: «У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры»1. Мы задумались, если исследованием фигурных чисел занимались такие великие умы, значит, тема интересна? А актуальна ли тема в наше время и многие ли знают о существовании фигурных чисел? Мы опросили разных людей: сверстников, старшеклассников, младших школьников, учителей, других взрослых, знают ли они что - либо о существовании фигурных чисел, их истории возникновения, видах и способах конструирования? Оказалось, что большинство не знает об этих числах.
Мы решили провести просветительскую работу, ведь тема нам показалась действительно интересной и актуальной. Рассказывая слушателям о фигурных числах, мы поняли, что тема эта настолько обширна и многогранна, что по ней можно еще много интересного открыть и узнать и решили продолжить нашу исследовательскую работу. Актуальность данной темы, по нашему мнению, состоит еще и в том, что в текущем учебном году мы начали изучение алгебры и геометрии, как разделов математики, в которых мы будем изучать различные геометрические формы, в том числе, геометрические фигуры и тела, а также в 9-м классе изучим числовые ряды и числовые последовательности, которые можно использовать для исследования по данной теме сейчас, а в последующем применить на уроках. Кроме того, на уроках химии в 8 классе мы будем изучать понятие кристаллической решетки вещества, в котором также будем использовать понятие фигурного числа. Актуальность темы подтвердил и произведенный нами опрос. Мы приступили к работе над научной статьей по составленному плану исследований. Мы начали свою работу по данной проблеме с поиска и сбора информации из разных источников, в том числе, из сайтов Интернета. При изучении найденной информации мы выяснили, что заинтересовавшие нас числа были известны с глубокой древности. Предполагалось, что в начале они появились в школе Пифагора в VI веке до нашей эры. В последующем многие математики занимались исследованием и изучением фигурных чисел, доказали о них теоремы. Мы с удивлением узнали, что Пифагором, его учениками и последователями, а также другими древнегреческими математиками числа представлялись зримо, как одинаковые камешки, выложенные на песке или абаке (счетной доске). Самой ранней практикой у греков и у других народов было представление числа в виде геометрических образов. Именно поэтому не было понятия числа «нуль», так как его нельзя было увидеть, а число «один» представлялось, как «числовой атом», из которого можно было образовать остальные числа. Пифагор и его ученики называли число «один» некой «границей между числом и частями», между целыми и дробными числами, но одновременно усматривали в нем «семя и вечный корень». Любое число ими представлялось как множество, состоящее из единиц. Особое расположение числа «один» как «числового атома», ставило его в один ряд с точкой, полагавшейся «геометрическим атомом». Интересным представляется вывод Аристотеля: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Поэтому можно сделать обоснованный вывод, что пифагорейские числа по современной терминологии есть не что иное, как натуральные числа. Камешки, как числа, раскладывались правильными геометрическими фигурами, которые определенным образом классифицировались. Вот почему эти числа получили название «фигурные». Мы решили выяснить в своем исследовании, какие же числа можно выкладывать с помощью геометрических фигур и тел, какие последовательности фигурных чисел существуют и как их можно сконструировать? Есть ли формулы для задания фигурных чисел? Где в современной жизни можно применять фигурные числа? Итак, судя по добытой информации, фигурные числа – это натуральные числа, которые можно представить в виде той или иной геометрической фигуры, составляющие определенный числовой ряд.
2. 2. Практическая часть.
Какие же виды фигурных чисел можно выделить?
● Первый вид фигурных чисел – линейные числа. Это числа, которые получаются путем выкладывания «камушков» в одну линию. Нетрудно заметить, что эти числа являются простыми, то есть состоят только из двух множителей – единицы и самого себя.
Мы получили ряд чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…(Приложение 2.1, фото моделей)
● Второй вид фигурных чисел – многоугольные (плоские) числа. Это числа, которые можно выложить или сконструировать в виде правильного или произвольного многоугольника. Это сложные числа, представляющие собой произведение двух сомножителей. Каждый ряд такого многоугольного («правильного») числа начинается с числа «один», второе по порядку число этого ряда равно количеству сторон правильного многоугольника, в виде которого конструируется фигурное число. Например, в треугольном числе это 1 и 3, в четырехугольном – 1 и 4, в пятиугольном – 1 и 5 и так далее. Сложность конструирования данных чисел состояла в том, что непросто из «камушков», а мы их сделали из обычного пластилина, выложить правильный многоугольник, с количеством сторон, больше четырех. Однако нам необходимо было получить ряды многоугольных чисел, поэтому мы постарались эти числа сконструировать.
Таким образом, мы получил следующие ряды чисел:
а) Треугольные: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (Приложение 2.2, фото моделей)
Мы увидели закономерность, что для того, чтобы получить следующее треугольное число, нужно предыдущее число сложить с порядковым номером текущего числа.
Если порядковый номер числа обозначить буквой N, то получим формулу треугольного числа: N*(N – 1)/2 + N.
Проверим правильность вывода формулы:
N = 3, 3* (3 – 1)/2 + 3 = 6; N = 6, 6*(6 – 1)/2 + 6 = 21.
Аналогичным образом можно проверить значения всех сконструированных треугольных чисел, а также вычислить любое треугольное число, зная его порядковый номер.
б) Четырехугольные (квадратные): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 81, 100, … (Приложение 2.3,фото моделей)
Нетрудно заметить, что ряд данных чисел представляет собой квадраты последовательных натуральных чисел. Наверное, именно поэтому говорят: «два в квадрате», «три в квадрате», «четыре в квадрате» и так далее. Четырехугольные числа получаются путем сложения квадрата предыдущего числа с порядковым номером предыдущего числа и с порядковым номером текущего числа.
Если порядковый номер четырехугольного числа обозначить буквой N, то получим формулу четырехугольного числа: (N-1)2 + (N – 1) + N или (N – 1)2 + 2N – 1.
Проверим правильность вывода формулы:
N = 3, 22 + 2*3 – 1 = 9; N = 6, 52 + 2*6 – 1 = 36.
Аналогичным образом можно проверить значения всех сконструированных четырехугольных (квадратных) чисел, а также вычислить любое четырехугольное (квадратное) число, зная его порядковый номер.
Исследуя треугольные и квадратные числа, мы заметили, что сумма двух последовательных треугольных числе является квадратным числом:
1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 21 + 28 = 49, 45 + 55 = 100 и так далее.
.
в) Четырехугольные (прямоугольные) числа: все составные числа, которые можно представить в виде произведения двух множителей.
Мы получили ряд чисел: 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35,…
Мы заметили, что эти числа обладают такой особенностью, что их можно выложить двумя способами, например, число 6 можно представить, как произведение 2*3 и как произведение 3*2, следовательно, это число можно выложить как два камушка в высоту и три в длину, а также, как три камушка в высоту и два в длину. Эти способы выкладывания прямоугольных чисел позволяют проследить с помощью моделирования переместительный закон умножения и распределительный закон умножения относительно сложения.
( Приложение 3, фото моделей).
г) Пятиугольные и S – угольные числа, где S – число сторон (или углов) правильного многоугольника.
Мы получили ряды чисел:
Пятиугольные: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, ... (Приложение 4.1)
Шестиугольные: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, … (Приложение 4.2)
Семиугольные: 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, … (Приложение 4.3)
Восьмиугольные: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, … (Приложение 4.4)
Из полученных данных мы попытались вывести формулу для построения многоугольных чисел. Экспериментальным путем, перепробовав множество вариантов, пришли к выводу, что, если к первому слагаемому формулы для треугольного числа добавить множитель
(S – 2), то получится формула для вычисления любого многоугольного числа по его порядковому номеру. Исследования проводили, представляя каждый многоугольник как сумму треугольников, а, следовательно, модель каждого многоугольного числа состоящей из моделей треугольного числа 3. При этом получалось, что в каждом случае было необходимо вычитать два «лишних» угла. (Приложение 5).
Таким образом, мы получили формулу: M = N * (N – 1)/2 * (S – 2) + N, где М – многоугольное число, N – порядковый номер этого числа в последовательности S – угольных чисел, S – число сторон ( углов) многоугольника, в виде которого моделируется фигурное число.
Однако, чем больше сторон становилось у исследуемого нами многоугольника, как модели фигурного числа, тем все более невероятно было его смоделировать.
Мы начали размышлять, возможно, существует компьютерная программа, с помощью которой можно было создать модели многоугольных (правильных) фигурных чисел. Наш учитель посоветовала нам попробовать при создании необходимых моделей воспользоваться программой GeoGebra. Наш опыт использования данной программы удался. Мы не только смоделировали такие фигурные числа, которые не смогли составить из «камушков», но и получили возможность проверить наши формулы, посчитав количество точек в полученных моделях фигурных чисел.
Пусть нам нужно посчитать значение пятого семиугольного числа.
Применяя формулу, получаем: 5*(5 – 1)/2 * (7 – 2) + 5= 55.
Посчитаем количество «камушков», содержащихся в пятом семиугольном числе, сконструированном на предложенном рисунке. Их ровно 55. Расчет верен?
Проверим расчеты на моделях некоторых многоугольных чисел.
Пусть нам нужно посчитать значение шестого пятиугольного числа.
Применяя формулу, получаем: 6*(6 – 1)/2 * (5 – 2) + 6 = 51.
Посчитаем количество «камушков», содержащихся в шестом пятиугольном числе, сконструированном на рисунке. (Приложение 6).
Их ровно 51. Расчет верен.
При исследовании многоугольных чисел мы пришли к выводу, что моделировать их можно разными способами. Однако мы обратили внимание на то, что все эти числа выражаются через треугольные! (Приложение 7).
● Продолжая свои исследования путем моделирования, мы попытались сложить из одного вида чисел – другое. Например, из треугольного сложить шестиугольное. Оказалось, что при моделировании некоторых чисел у нас не хватало одного «камушка» в центре. Пример:
Первое, смоделированное нами, шестиугольное число получилось соединением моделей шести треугольных чисел, равных 3. Сумма «камушков» треугольных чисел: 3 * 6 = 18, однако в центре шестиугольника оставалось незаполненным одно место. Мы заполнили пустое место «камушком», получилось шестиугольное число, равное 19. Следующее шестиугольное число мы смоделировали из шести треугольных чисел, равных 10. Сумма камушков составила 10 * 6 = 60. И в этом случае в центре шестиугольника осталось незаполненным место под один «камушек», которое мы также заполнили. Получилось шестиугольное число, равное 61. Однако полученные числа не только не подходили под ранее исследованные модели шестиугольных чисел, но и не получались путем их вычисления по составленной формуле. Возникла проблема. Неужели всё, что нами было исследовано ранее, не достоверно? Мы обратились к источникам и нашли в нихпонятие центрированных фигурных чисел2. Оказывается мы, проводя эксперименты с моделированием многоугольных чисел, пришли к еще одному виду фигурных чисел.
Из Википедии: Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Центрированные шестиугольные числа – это центрированные фигурные числа, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке. Это оказался совершенно иной вид фигурных чисел, с иными значениями, иными моделями, но при этом, не менее интересный. Мы изготовили модели еще нескольких центрированных фигурных чисел и поставили перед собой задачу: продолжить изучение центрированных фигурных чисел после окончания данной исследовательской работы, так как этот раздел представляется нам интересным и многогранным, требующим отдельного исследования. (Приложение 8).
● Четвертый вид фигурных чисел, который вызвал у нас живой интерес – телесные фигурные числа. Это числа, которые можно представить в виде трех сомножителей. Этот вид чисел представлен моделями геометрических тел.
Поскольку мы не приступили еще к изучению геометрических тел, наш учитель посоветовала нам остановиться на исследовании телесных чисел, представляющих собой правильные многогранники. Приступая к исследованию этого вида чисел, мы познакомились с понятием многогранника, правильного многогранника, и узнали, что существует всего пять правильных многогранников, которые великий древнегреческий мыслитель Платон сравнивал с четырьмя стихиями и мирозданием.
Нам удалось смоделировать телесные фигурные числа в виде тетраэдра и гексаэдра (куба), это оказалось не так уж сложно.
Более сложно оказалось смоделировать телесные числа в виде октаэдра и икосаэдра, однако нам это удалось. Мы также использовали пластилиновые шарики – «камушки» для своего исследования.
На фотографиях представлена выполненная в форме икосаэдра модель телесного фигурного числа 12.
Также нами были смоделированы иные телесные фигурные числа в виде правильных многогранников. (Приложение 9, фото моделей).
На внеклассном занятии учитель предложила нам решить задачу из курса геометрии 7 класса, связанную с моделированием фигурных тел.
Задача:
Подумайте над следующей старинной головоломкой, которую иногда называют «египетская пирамидка». Имеется 20 одинаковых шариков, склеенных так, что получилось две «цепочки» по 4 шарика в каждой и два «прямоугольника» из 6 шариков со сторонами 2 и 3 шарика. Как сложить эти четыре набора так, чтобы получилась треугольная пирамида?
Решение:
Перед нами четыре фигурных числа, из которых нужно смоделировать телесное. Сложность задачи заключалась в том, что шарики нельзя разделять. Однако нам удалось смоделировать треугольную пирамиду.
Мы сделали вывод, что из моделей линейных, прямоугольных и иных плоских фигурных чисел можно смоделировать комбинированные телесные фигурные числа.
Представление фигурных чисел в виде квадрата и прямоугольника, которые, как уже было сказано выше, являются произведением двух множителей, позволяют использовать их для определения понятий «площадь прямоугольника», «площадь квадрата», а также для вычисления данных площадей. Представление фигурных чисел в виде куба и прямоугольного параллелепипеда, которые являются произведением трех множителей, позволяют использовать их для определения понятий «объём куба», «объём прямоугольного параллелепипеда», а также для вычислений данных объемов. Один из крупнейших математиков XVII века, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, так как вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические расчеты заменял рассуждениями с геометрическими фигурами. Долгие века лучшим подтверждением числовых соотношений считался способ геометрический – с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.
В процессе исследовательской работы нас заинтересовал вопрос, а применяются ли в современном мире фигурные числа? Если да, то в каких областях? Существуют ли в природе объекты, имеющие форму телесных чисел?
И тут же нашли первый ответ на свои вопросы. Когда мы моделировали телесное число в виде икосаэдра, использовали пластилин вишневого цвета. Вдруг кто-то из нас воскликнул : «Гляди – ка, ежевика!» И действительно, в природе ягоды ежевики похожи на телесное фигурное число 12.
Когда мы беседовали с нашим учителем биологии, химии о понятии фигурного числа, она нам рассказала, что в химии есть понятия химической связи, кристаллической решетки, строения химического вещества. Природа устроила так, что некоторые из этих понятий связаны с понятием фигурных чисел. Нам стало интересно проверить, действительно ли это так?
Найдя в источниках Интернет механизмы образования химической связи, мы убедились, что химическую связь можно сконструировать в виде различных фигурных чисел: плоских, телесных, центрированных.
Оказалось, что химия — удивительная наука. Столько невероятного можно обнаружить в, казалось бы, обычных вещах, связанных с понятием фигурного числа. Например, кристаллические решетки. Их образование и структура также напоминает принцип образования фигурных чисел разных видов.
Это тоже интересная тема для дальнейших исследований.
Учитель истории рассказала нам, что раньше, когда в военных действиях использовались пушки и пушечные ядра, для того, чтобы работа канониров была более безопасной, пушечные ядра складывали в виде пирамиды по типу моделирования фигурных телесных чисел. Тогда ядра не раскатывались, и их было удобно брать для зарядки орудия. Сейчас на панорамных объектах, иллюстрирующих давние битвы, модели пушечных ядер также сложены в виде фигурных телесных чисел.
Ну а в повседневной жизни? Есть ли применение фигурных чисел? Несомненно, есть. Мы опросили продавцов в магазинах, на складах, зашли и в швейные мастерские. Люди, работающие там, не имеют ни малейшего понятия о фигурных числах и их конструировании. При этом они успешно применяют их в своей работе.
В виде фигурных чисел разного вида пакуются кондитерские изделия, укладываются фрукты и овощи на сельскохозяйственных рынках для оптимального хранения их на прилавках и многое другое. (Приложение 10).
И пара занимательных задач:
1. Перед входом в крепость сложена треугольная пирамида из одинаковых пушечных ядер
(в основании пирамиды – правильный треугольник, ядра последующего слоя лежат в ямках предыдущего слоя). Каким может быть количество ядер в такой пирамиде?
2. Почему числа 2*2*2*2=16, 3*3*3*3=81, 4*4*4*4=256 и так далее, не имеют своего названия, хотя у квадратов и кубов чисел такие названия есть?
3. Заключение.
Работая над темой «Фигурные числа», мы полностью доказали поставленную гипотезу. Мы узнали, что действительно существует множество чисел, которые можно выложить в виде геометрических фигур и тел. Мы увидели, что мир фигурных чисел многогранен и интересен. Их исследованием, классификацией и применением занимались и занимаются математики и не только, фигурное представление чисел помогает наглядно увидеть ряд математических законов. При проведении социального опроса мы поняли, что большинство окружающих нас людей понятия не имеют о существовании фигурных чисел, однако, так или иначе, применяют их в своей деятельности. Мы провели просветительскую работу, рассказав учащимся 6х классов о существовании фигурных чисел, научились и научили других конструировать разные виды этих чисел, научились и научили других использовать компьютерную программу GeoGebra. Считаем, что тема нашей работы актуальна и неисчерпаема. Фигурные числа – это действительно интересно и увлекательно. Результаты работы могут быть использованы на классных и внеклассных занятиях по математике и иным предметам. Задачи, поставленные для работы над данной темой, реализованы, цель работы достигнута.
4. Список литературы и источников Интернет.
1. Википедия. https://ru.wikipedia.org/
2. 1. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова. https://obuchalka.org/2013092273601/ya-poznau-mir-detskaya-enciklopediya-matematika .
3. 2. Роговая С. Н., Сумина Г. Н. Многоугольные и пирамидальные числа. Статья.http://www.amgpgu.ru/upload/iblock/454/rogovaya_s_n_sumina_g_n_mnogougolnye_i_piramidalnye_chisla_.pdf
5. Приложения.
Приложение 1.
Результаты социального опроса, оформленные в виде столбчатой диаграммы.
Приложение 2.1. Приложение 2.2. Приложение 2.3.
Приложение 3. Приложение 4.1. Приложение 4.2. Приложение 4.3.
Приложение 4.4. Приложение 5.
Приложение 6. Приложение 7.
Приложение 8. Приложение 9.
Приложение 10.