IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Применение производной в экономике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Калугина А.С. 1

---

1МОУ СОШ №4 п. Карымское

Мищенко И.И. 1

---

1МОУ СОШ №4 п. Карымское

Работа в формате PDF

399.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Современный человек должен обладать определенными экономическими знаниями, а современный экономист должен обладать способностью проведения анализа с использованием количественного метода. Именно математика является и орудием количественного расчета, и методом точного исследования. Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов экономических задач. Современная жизнь такова, что экономика стала неотъемлемой ее частью. Ведь без экономики практически невозможно сейчас заниматься домашним хозяйством, распределять и планировать семейный бюджет, правильно тратить ресурсы и средства. Именно в этом нам могут помочь экономические задачи. Основная проблема, которую я запланировала рассмотреть в своей работе – как можно использовать производную в экономических целях и ее роль в современных экономических взаимоотношениях. Кроме того, я решила провести анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.

Экономические задачи непросты, и чтобы облегчить их решение, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась доказать, что с помощью производной решение экономических задач становится значительно проще.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Самостоятельно и дополнительно изучить основы дифференциального исчисления, не входящие в курс математики средней школы или еще не изученные, которые поспособствуют осознанному качественному усвоению материала;

2. Выяснить экономический смысл производной, возможности и актуальность применения дифференциального исчисления для экономических исследований;

3. Исследовать возможность и актуальность применения производной к решению различных видов экономических задач, произвести их классификацию;

4. Провести мониторинг решаемости экономических задач учащимися.

Для себя я сформулировала проблемный вопрос: Нужна ли производная экономистам и не только…?

Цель моей работы:

Выяснить экономический смысл производной; возможности и актуальность применения дифференциального исчисления для экономических исследований; исследовать возможность и актуальность применения производной к решению различных видов экономических задач, произвести их классификацию; провести мониторинг решаемости экономических задач учащимися

При работе над темой и написании научной статьи мною применялись следующие методы исследования.

I. Эмпирические методы исследования:

Поисковый метод: С использованием учебной и иной научной литературы, интернет- ресурсов, общения с экономистами, руководителями предприятий, учащимися выяснить, актуальна ли тема применения производной в иных областях.

Аналитический метод: тщательный анализ найденного материала, проверка его на логичность, достоверность, актуальность.

Социальный опрос: постановка конкретных вопросов окружающим в беседе и анкетировании, оформление итогов опроса в виде диаграмм.

II. Теоретические методы исследования:

Анализ: подробное изучение каждого типа экономических задач, их классификация.

Оформление результатов исследования, формулирование выводов.

Просветительская деятельность.

III. Практические методы исследования: 

Классификация задач по применению производной в экономике. Прорешивание задачи из ЕГЭ по математике №17 экономического содержания с применением производной, задачи из иных источников, оформление сборника задач с решением некоторых из них, размещение сборника в сети Интернет.

Гипотеза: Можно предположить, что знание производной и умение применять ее при решении математических задач позволяет в свою очередь решать многочисленные задачи по экономической теории.

2. Основная часть.

Производная функции – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, y'=Δy/Δx при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

История развития дифференциального исчисления берет свое начало несколько веков назад. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии;

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Итальянский математик Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) рассматривал понятие производной в своих работах еще раньше - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения.

При изучении темы «Производная» в школьном курсе алгебры и начал анализа рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако область применения производной этим не ограничивается. Например, существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.

Производная способствует решению не только математических задач, но и задач практического содержания в разных областях, как точных наук, так и социальных.

Фридрих Энгельс заметил, что «Лишь дифференциальное исчисление дает возможность… математически изображать не только состояния, но и процессы: движение», это можно отнести и к экономическим процессам, таким, например, как повышение или понижение дохода.

Производная функции играет важную роль в социально-экономических исследованиях. Оказалось, что на уроках мы узнаём не так много, а вопрос очень объемный. Самостоятельно и дополнительно я решила изучить основы дифференциального исчисления, которые способствуют осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных областях. В ходе работы я попытаюсь доказать поставленную гипотезу. Производная широко используется в различных областях деятельности человека, поэтому умение прогнозировать, решать имеет огромное значение в практической деятельности. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный и метапредметный характер, и широко применяются в физике, экономике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по этой теме имеет принципиальное значение, так как здесь показывается приложение к решению различных экономических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Я считаю, что эта тема очень важна для таких школ как наша, где есть огромный потенциал учащихся, которые работают над социальными проектами, в том числе, экономической направленности.

На сегодняшний день существенно изменился спектр приложений математики в связи с переходом к рыночным отношениям. Данный период "заставляет" население обучаться экономической грамотности, которая, в свою очередь, невозможна без применения математических основ и знаний более углубленного характера. Изучение связей экономических величин в виде функций – базовая задача экономического анализа. Основа основ любой экономики – это производство, т. к. оно позволяет людям удовлетворять свои многочисленные потребности. Экономистам все время приходится решать одну глобальную задачу – удовлетворение неограниченных потребностей ограниченными ресурсами. Меня заинтересовала область применения производной - экономика, так как экономические процессы в нашем государстве да и во всем мире претерпевают глобальные изменения, и применение производной поможет и уже помогает в решении многих экономических задач, а я планирую, возможно, связать свою будущую профессию с международной экономикой. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и так далее. Дифференциальное исчисление получило широкое применение как математический аппарат для экономического анализа и его развития в экономике. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. Существенным в этой области является ряд следующих вопросов:

- В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?

- С какой скоростью изменится доход в этом случае?

Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции с помощью производной.

Для реализации плана исследований я собрала и проанализировала информацию, позволяющую подтвердить или опровергнуть выдвинутую мной гипотезу.

Прежде всего, мною было проанализированы «Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2018 года по математике» под редакцией И.В. Ященко и других.

Приведу примеры статистики сдачи ЕГЭ по математике (профильный уровень) за 2016 - 2018 годы (использовал данные с сайта ФИПИ).

Решение задания номер 17

Такая статистика решения экономической задачи объясняется и сложностью задания, и просто тем, что такой темы просто нет в наших учебниках по алгебре. Одной из причин снижения доли участников, набравших полный балл за задание 17 (экономическая задача), стало использование при подготовке к экзамену типовых заданий вместо систематического изучения курса и грамотного итогового повторения. Многие участники не прочитали полностью и внимательно условие задачи и допустили существенные ошибки, следуя «типовому алгоритму». Это еще раз подтверждает актуальность выбранной мной темы, так как большинство граждан так или иначе сталкиваются в социуме с экономикой, а значит и с решением экономических задач, часть из которых можно решить, используя знания и умения применения производной к решению задач, связанных с практической деятельностью человека. Поэтому у меня возникла идея после исследования составить краткое методическое пособие по примерам задач экономического содержания и способам их решения с помощью производной, а также разместить это пособие в Интернете для возможно более широкого использования.

Также мною были проанализированы результаты муниципального и регионального этапов олимпиад по математике. Мною был сделан вывод, что лишь ограниченное количество участников приступают к решению задач экономического характера, а результата достигают лишь единицы. Поэтому возникает проблема: почему же такой низкий процент решаемости этих задач? Сделав опрос в своей школе и в социальных сетях, я пришла к следующим выводам:

1.Понятие производной в школьном курсе математики изучается только в 10 классе во 2 полугодии или в 11 классе, поэтому не все ученики 9-11 классов знакомы с этой темой.

2. Экономический смысл производной не изучается в школьном курсе математики, а уроки экономики в основном ведут учителя истории и обществознания, которые больше дают теории, а не практических задач.

(Приложение 1)

Это еще раз подтверждает актуальность выбранной мною темы для исследования.

Анализируя сведения, имеющиеся в различных источниках информации, я заметила, что задачи данной категории можно разделить на несколько групп:

1. Задачи на производительность труда;

2. Задачи на темп работы;

3. Задачи на скорость работы;

4. Задачи на объем работы;

5. Задачи на оптимизацию процесса;

6. Задачи на эластичность спроса;

7. Задачи на оборот предприятия;

8. Задачи на предельные издержки производства и дополнительные затраты на производство.

Все эти группы задач можно решить с помощью задания функции, отыскания производной, а с её помощью максимумов и минимумов функции.

Пример 1: Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t ² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение задачи сводится к отысканию производной и нахождению минимума и максимума функции.

Пример 2: Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию

U(t) = 0,15t³ - 2t² + 200,

где t - месяц, U – миллионы.

Исследуйте оборот предприятия.

Решение:

Исследуем оборот предприятия с помощью производной:

U´(t) = 0,45t² - 4t,

U´´(t) = 0,9t - 4,

U´´´(t)=0,9.

Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце).

Первая производная показывает экстремальное изменение оборота.

Из U´´(t) = 0 следует, что t = 4,4

Так как U´´´(t)>0 на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Вывод: Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце).

Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать вывод:

В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства. На девятом месяце предприятием были предприняты меры по повышению производительности труда и предприятие стало выходить из кризиса.

Пример 3: Объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением:

u (t) = - t³+5t²+120t+10, где 1≤t≤8 — рабочее время (ч). Вычислите производительность труда и скорость ее изменения в момент t=1 и t=4.

Производительность труда найдем по формуле:

z(t) = u^' (t) = -3t²+10t+120 (eд./ч).

Скорость изменения производительности труда вычислим как производную: z'(t) = -6t+10 (ед./ч 2 )

Тогда в заданные моменты времени имеем:

z(1) =128 (ед./ч 2 ),

z'(1)= 4 (ед./ч 2 );

 z(4) = 112 (ед./ч 2 ),

z'(4) = -14 (ед./ч 2 )

Можно сделать вывод, что производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака в z'(t) свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня смещаются ее снижением в последующие часы. Такой результат является следствием усталости работников, ухудшением условий в помещении множество других факторов, влияющих на производительность труда, а также и на уровень заработной платы работников. Таким образом, важно не только получить ответ при помощи производной, для экономистов важен анализ полученного результата и соотнесения его с реальностью.

(Приложение 2)

Рассмотрим некоторые экономические функции и определим экономический смысл их производных.

1).Функция спроса – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены р (в pублях). Производная дает приблизительное уменьшение спроса при увеличении цены на одну единицу. Поскольку, как известно, при повышении цены спрос уменьшается, то на самом деле абсолютное значение производной показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на одну единицу.

2).Функция предложения – зависимость предложения некоторого товара S от его цены p (в pублях). Производная дает приблизительно увеличение предложения товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на одну единицу.

3).Функция полезности – субъективная числовая оценка U данным индивидом полезности количества x товара для него. Производная дает приблизительную оценку дополнительной полезности от приобретения еще одной единицы товара.

4). Налоговая ставка – зависимость налога N в процентах от величины годового дохода Q. Пусть

P – само значение налога, которое надо платить с годового дохода Q. Тогда производная P и

есть налоговая ставка N.

В экономике чрезвычайно часто ставятся такие вопросы:

- На сколько процентов изменится спрос на товар, если цена на него увеличится на 1%?

- На сколько процентов изменится предложение товара, если цена на него увеличится на 1%? Такие вопросы и ответы на них вводят новое понятие «эластичность функции по аргументу» или «относительная производная».

Эластичностью функции Е_xy(x₀) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при D: x ϵ [0;®]. 

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%. Очень широко применяется понятие эластичности функции в экономическом анализе. Выясняя у нескольких экономистов, работающих в сфере торговли продуктами питания, промышленными товарами, фармацевтическими товарами важность понятия эластичности функции, пришел к выводу, что значения эластичности влияет на поведение покупателя.

Если E=0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным.

Если 0≤|E|≤1, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным.

Если |E|=1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность.

Если |E|>1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным.

Если |E|=∞, то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объём покупок падает почти до нуля.

(Приложение 4).

Пример 3: Функция спроса относительно дохода имеет вид S = 4 + 1,2r + 0,44r².

Как изменится спрос, если доход увеличивается от 100 у.е. до 150 у.е.?

Решение:

E_r (S) = r/S*S^', r = 100.

Найдём эластичность функции относительно дохода по формуле

E_r = r/4 + 1,2r + 0,44r² * (0,88r + 1,2) = 1,972.

Делаем вывод: так как E_r>1, то спрос увеличивается.

Определим значение эластичности, если доход равен r = 150 у.е.

Так как доход увеличивается на 50 у.е., то есть на 50%, очевидно, что спрос увеличился на

50% * 1,972 = 98,6%.

Ответ: Увеличится на 98,6%.

(Приложение 5).

При работе над научной статьёй мною было проанализировано экономическое положение нескольких ведущих предприятий Забайкальского края и Российской Федерации в целом в свете изменяющейся экономической обстановки за предыдущие два – пять лет. Для исследования данного вопроса я встретилась с членом Комитета по экономической, инвестиционной политике и собственности Законодательного собрания Забайкальского края 1го и 2го созыва Никоновым А. М., генеральным директором ООО «Управляющая компания «Читастройматериалы», в который помимо Силикатного завода входит около 15 предприятий строительной отрасли и его экономистами, которые познакомили меня с бухгалтерской отчетностью за прошлые годы и рассказали о целесообразности применения производной в экономической практике предприятия.

Исследование данного вопроса позволило сделать вывод о том, что экономическое положение предприятия в немалой степени зависит от грамотности команды экономистов, работающих в данном предприятии. Все они отметили, что знания, полученные ими в курсе изучения алгебры и начал анализа по теме «Производная функции», а также углубленные и расширенные в последующем при обучении в ВУЗах, позволяют контролировать экономическую ситуацию на производстве, своевременно просчитывать возможные негативные последствия экономической ситуации в государстве в целом и предотвращать либо минимизировать их в рамках отдельно взятого предприятия. Также мною было проанализировано экономическое положение ряда предприятий малого и среднего бизнеса, работающих в нашем МР. К сожалению не все предприятия могут себе позволить ввести в штат грамотного экономиста, в том числе по причине их малочисленности, поэтому некоторые предприятия вынуждены признаваться банкротами. (Приложение 6).
Таким образом, проведя анализ имеющихся теоретических и практических материалов, можно сделать вывод об экономическом смысле производной.

1. Издержки производства y (в экономике TC) будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х (Q). Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y΄ = Δ y / Δ x выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты единицы дополнительной продукции:

J(x) = y΄ (x) (МС = ТС`)

2. Производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

3. Производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

4. Если y = f(x) – функция выпуска ресурса, то эластичность равна отношению предельной производительности ресурса к его средней производительности.

Итак, экономический смысл производной заключается в следующем: производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. С ее помощью решаются важнейшие экономические задачи. На практике производная служит очень хорошим инструментом при решении задач оптимизационного характера: на производительность труда, эластичность спроса и др. Из этого следует вывод, что производная играет важную роль в экономике. Задачи, решаемые с помощью производной, широко используются в производстве. Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.

В связи с чем, полагаю, вполне обоснованно в ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года была введена задача №17 экономического содержания, которая по своей сложности находится на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел.

3. Заключение.

Работая над научной статьёй, я убедилась в важности изучения темы Производная, ее роли в исследовании различных процессов науки и техники, социальных процессов, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать текущие задачи. Я пришла к выводу, что производная очень важна в экономике. С её помощью решаются сложные экономические задачи. На практике производная служит очень хорошим инструментом при решении задач оптимизационного характера: на производительность труда, эластичность спроса и других. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Моя гипотеза была полностью подтверждена. Кроме того, я постаралась применить полученные в ходе работы знания в практике, в частности, при решении различных задач экономического характера, распространить полученный мною опыт в Интернет - ресурсах, в печатном сборнике

(Приложение 7).

4. Список литературы:

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. С. М. Никольский и др. М., Просвещение, 2016.

Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс. М. К. Потапов и др. М. Просвещение, 2017.

В. Л. Клюшин, Высшая математика для экономистов, учебное пособие, Москва, ИНФРА-М, 2009г.

Вологжанинов Д.Д., Зеркаль Ф.А. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИБЫЛИ ТОРГОВОЙ ФИРМЫ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ // Молодежный научный форум: Общественные и экономические науки: электр. сб. ст. по мат. XIX междунар. студ. науч.-практ. конф. № 12(19). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_social/12(19)

КИМ по математике, профильный уровень.

Кочержова Е.Н., Боташева Л.Р., Цыплакова О.Н. РОЛЬ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 72-74;

Интернет – ресурсы

Шелматов И. Н ., Искакова А.М. Применение производных при решении задач и значение производной в экономике// ИТОГИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: ИЗОБРЕТЕНИЯ, МЕТОДИКИ, ИННОВАЦИИ Сборник материалов VI международной научно-практической конференции. Научный центр "Олимп". – 2015.

Экономико-математические методы и модели: учебное пособие/ кол. авторов; под ред. С.И. Макарова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: КНОРУС, 2007. – 240с.

5. Приложения Приложение 1

Приложение 2.

Соотношение роста производительности труда и повышения заработной платы работников ОАО «РЖД»

В январе-сентябре 2018 г. производительность труда увеличилась на 6,2% (к аналогичному периоду 2017 г.). Среднемесячная заработная плата работников, занятых на перевозках, в январе-сентябре 2018 г. составила 55471 руб. (+10,9% к аналогичному периоду 2017 г., +19,3% к аналогичному периоду 2016 г.).

ОАО «Российские железные дороги»

Пассажирские перевозки.

Грузовые перевозки.

Приложение 4.

Примеры товаров, покупательский спрос на которые зависит от эластичности функции.

Е = 0: Товары первой необходимости, жизненно-важные медицинские препараты (инсулин, хлеб, очки и т.п.)

0≤|E|≤1: Товары второй необходимости (крупы, сахар, гигиенические товары, шторы и т.п.)

|E|=1: Товары «запаса» (тушенка, бытовая техника и т.п.)

|E|>1: Товары, на которые действуют гибкие скидки или акции типа «Купи две пары обуви, третью возьми бесплатно», скидки и акции на авиа – и железнодорожные перевозки, скидки на одежду, некоторую электробытовую технику и т.п.

|E|=∞: Всевозможные распродажи ( «Черная пятница», «Обвал цен» и т.п.)

Приложение 5.

Задача.

Пусть функция спроса у относительно цены х имеет вид:

у = а * е^{- 2х} ,

где а – постоянный коэффициент.

Найдите значение показателя эластичности функции спроса при цене

х = 3 ден. ед. Сделайте вывод.

Решение:

Рассчитаем эластичность функции спроса по формуле: Е_х (у) = х/у * у ^'.

Е_х (у) = х/(а* е^{- 2х}) * ( -2а е^{- 2х} ) = - 2х.

Таким образом, Е_{х = 3} (у) = -2 * 3 = - 6. |E| > 1.

Вывод: Повышение цены на 1 % повлечет снижение спроса на 6%, что соответствует понятию эластичного или относительно эластичного товара: цена растёт – темп снижения спроса выше темпа роста цены. 

Задача.

Рассчитайте эластичность функции спроса у = х² + 3х + 1 и найдите значение показателя эластичности функции при х = 3. Сделайте вывод.

Решение:

Рассчитаем эластичность функции спроса по формуле: Е_х (у) = х/у * у ^'.

Е_х (у) = х/( х² + 3х + 1) * (2х + 3).

Таким образом, Е_{х = 3} (у) = (2 * 9 + 3 * 3)/(9 + 3 * 3 + 1) = 1, 42.

Вывод: Если независимая переменная увеличивается на 1%, то значение зависимой переменной увеличивается на 1, 42%.

Приложение 6

АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО "СИЛИКАТНЫЙ ЗАВОД"

Бухгалтерская (финансовая) отчетность

ОГРН1027501156275 ИНН / КПП7534000698 / 753601001

Денежные потоки от текущих операций

Приложение 7.

СБОРНИК

задач экономического содержания

(Пособие для подготовки к ЕГЭ)

Составитель: Калугина Анастасия Сергеевна,

МОУ СОШ №4 п. Карымское

пгт Карымское, Забайкальский край

Словарь некоторых экономических терминов

Производственные возможности фирмы – совокупность факторов производства, которыми располагает фирма и имеющийся уровень технологии их использования.

Факторы производства – то, что участвует в процессе производства и способствует созданию конечного продукта (товара или услуги): труд, земля, капитал, предпринимательская способность.

Спрос – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность приобрести потребитель по каждой конкретной цене.

Предложение – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность предложить производитель по каждой конкретной цене.

Монополия – специфический вид конкуренции, при котором на рынке присутствует единственный продавец, производящий специфический, не имеющий близких заменителей продукт и может оказывать значительное влияние на рыночную цену. Единственной границей установления цены является платежеспособный спрос и цена на мировом рынке.

Совершенная конкуренция – вид конкуренции, при котором на рынке действует множество продавцов и покупателей, доля каждого из которых на рынке незначительна. Производится однородная продукция и отсутствует возможность влияния на рыночную цену (она устанавливается путём взаимодействия спроса и предложения).

Постоянные издержки – TFC(total fixed costs) – затраты, которые не изменяются при изменении объёма производства: амортизация, арендная плата, зарплата управленческого персонала, коммунальные услуги (не связанные с объёмом производства) и т.д.

Переменные издержки – TVC(total variable costs) – затраты, которые изменяются при изменении объёма производства: затраты на сырьё, материалы и топливо, зарплата рабочих, коммунальные услуги (связанные с объёмом производства) и т.д.

Благо – это предмет, явление, продукт труда, удовлетворяющий определённую человеческую потребность и отвечающий интересам, целям, устремлениям людей.

Товар – специфическое экономическое благо, произведённое для обмена.

Услуги – целесообразная деятельность человека, результат которой имеет полезный эффект, удовлетворяющий какие-либо потребности человека. Специфика услуг как товара состоит в том, что потребительная стоимость услуги не имеет вещественной формы, также услугу нельзя накопить, она может быть потреблена в момент производства.

Задача № 1

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3tединиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение: Вводим новые переменные. Поскольку на первом и на втором заводе время разное, мы заменили t на а на первом заводе, на втором — t на b. Пусть на первом заводе расходуется a² времени и производится 3a единиц продукции. На втором — b² времени и 4bпродукции. Суммарный расход времени составляет a²+b², а суммарный расход продукции – (3a+4b).

Составим и решим уравнение:

500(a²+b²) = 5000000,

500а² + 500b² = 5000000.

Выразим из данного уравнения переменную b:

b = √10000 – a ²,

берем положительное значение, так как речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным

Суммарный выпуск продукции (S) равен:

S=3a+4b→max

Имея ограничение на a и b, нам нужно добиться того, чтобы S принимала свое максимальное значение. Подставим вместо b выражение √10000 – a ², получаем

S=3a+4√10000−a²

Найдём максимальное значение функции на всей области определения [0; 100].

10000−a²≥0,

a²≤10000,

|a|≤100.

а ϵ [0;100]

Найдём производную функции S=3a+4√10000−a²:

S′=3+4(−2a)/2√10000−a² = 3−4a/√10000−a²,

Решим уравнение: 3−4a/√10000−a² = 0.

9(10000−a²)=16a²,

90000−9a²=16a²,

25a²=90000,

а² = 3600,

а = 60.

Теперь, зная, чему равно a, легко найти b:

b=√10000−3600 = √6400 = 80.

Найдём экстремумы функции.

Производная в точке а = 60 меняет знак с «+» на «-». Отсюда следует, что a=60является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает наибольшее значение. Осталось подставить в S полученное значение a и b:

S = 3 * 60 + 4 * 80=180 + 320 = 500.

Ответ: 500 единиц товара.

Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина t², когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.

Величина t², относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.

Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково, неверно.

Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.

Задача №2.

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t ² часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение:

Составим таблицу по условию задачи:

Зададим функцию количества единиц товара: ∑(x,y) = x+y→наибольшее.

В точке у = 50 функция меняет знак с «+» на «-», значит у = 50 – точка максимума функции.

Вычислим значение у в точке максимума и на концах отрезка.

∑ (0) = 60,

∑ (67) – не существует,

∑ (50) = 90.

Делаем вывод, что функция ∑ принимает своё наибольшее значение при y = 50.

Поскольку данная функция задавалась как функция количества единиц товара, следовательно,

∑ = 90 и есть искомое решение задачи.

Ответ: 90 единиц товара.

Задача № 3 (решите самостоятельно).

Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся t² часов в неделю, то выпускают t единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся t² часов в неделю, то выпускают 2t  единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час. Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

Задача №4

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Найдите темп изменения производительности труда. Вычислите темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделайте вывод.

Решение: Производительность труда выражается производной объема произведенной продукции z (t) = u' (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед/ч), а темп изменения производительности выражается логарифмической производной Tz (t) = [ln z(t)]'

z'(t) = - 5 t + 15

Tz(t) = [ln z(t)]'= z'(t) / z(t)= (-5 t +15)/(- 5/2 t² + 15 t +100)=(2t – 6)/( t² – 6 t – 40)

Вычислим темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

Tz(1) = 0, 09 (ед. /ч),

Tz(7) = - 0, 24 (ед. /ч)

Вывод: Через час после начала работы темп изменения производительности труда положителен, а ,значит, производительность труда растет, за час до окончания работы темп изменения производительности труда отрицателен, значит производительность падает. Изменение знака Tz (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Задача №5 (решите самостоятельно) Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может описан уравнением u= - 5/6t³ + 15/2t² +100t + 50 (ед),1≤ t≤ 8,где t - рабочее время  в часах. Вычислите производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделайте вывод.

Задача № 6 Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не может превышать 90 тонн в день. Определите: 1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими ( наименьшими); 2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода. Функция суммарных затрат имеет вид:  K(x) = - x³ + 98x² + 200x.

Решение:

При данном объёме производства удельные затраты составят: 

f(x) = K/x = - x² + 98x + 200.

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений

функции на промежутке [20;90].

Вычислим производную и найдём критические точки:

f ^'(x) = -2х + 98,

-2х + 98 = 0,

х = 49.

Вычислим значение функции в точке х = 49 и на концах отрезка.

f(20)=1760

f(49)=2601

f(90)=920

Вывод: 1) наибольшая величина затрат на единицу продукции составит 2601ден.единицу при выпуске 49 тонн цемента в день , а наименьшая 920 ден. единиц при выпуске 90 тонн цемента в день.

2) фирме не выгодно быть единственным потребителем цемента, т.к. она переплачивает за товар.

Вопрос: каковы должны быть ближайшие шаги руководства заводом?

Ответ: срочный поиск новых потребителей, иначе завод рискует потерять и тех клиентов, которых имеет.

Задача №7 (решите самостоятельно).

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Найдите наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислите производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделайте вывод.

Задача №8

Завод изготавливает и продает полупроводниковые приборы. Удельные расходы (в расчете на один прибор) зависят от объема производства и включают в себя постоянную часть в размере 1000 (руб/прибор) и переменную часть 2n (руб/прибор), где n − число приборов, изготовленных за месяц. Цена прибора, в свою очередь, зависит от объема производства по закону p(n)=10000−n (руб/прибор). Определить, при каком объеме производства прибыль будет максимальной?

Решение.

Доход от продажи приборов, изготовленных в течение месяца

R(n) =n p(n) = n (10000−n).

Ежемесячные расходы при этом составляют:

C(n) = n (1000+2n).

Тогда прибыль определяется формулой

P(n) = R(n)−C(n) = n(10000−n) − n(1000+2n) = 10000n−n²−1000n−2n² = 9000n−3n².

Исследуем функцию прибыли на экстремум. При этом будем считать, что n является действительным числом.

Дифференцируя по n, получаем: P′(n) = (9000n−3n²)′ = 9000 − 6n, приравняв производную к 0, найдём n = 1500 .

Вычислим также вторую производную: P′′(n)=(9000−6n)′ = −6<0.

Поскольку вторая производная всюду отрицательна, то решение n=1500 является точкой максимума, то есть при производстве 1500 приборов в месяц прибыль предприятия будет максимальной. 

Ответ: 1500 приборов.

Задача № 9 (решите самостоятельно)

На изготовление x единиц товара фирма затрачивает C(x) = ax² + bx рублей , где a и b − некоторые действительные числа. Товар продается по цене p рублей за штуку. Определите объем продаж, при котором прибыль будет наибольшей.

Задача № 10 (решите самостоятельно)

Компания продает товар по цене 100 рублей, если объем партии не превышает 5000 единиц. При большем объеме предоставляется скидка в размере 5 рублей на каждую последующую тысячу, превышающую уровень 5000. При каком объеме заказа компания получает наибольший доход?

Задача № 11

В некотором государстве используется прогрессивная система налогообложения. Сумма налога состоит из линейной части, пропорциональной доходу, и нелинейной части, зависящей от дохода по степенному закону. Общая величина налога определяется формулой T(W) = aW + (bW + c) ^p, где W − доход, p − показатель степени, a,b,c − положительные коэффициенты. При каком уровне дохода ставка налога будет минимальной?

Решение.

Налоговая ставка r вычисляется по формуле:

r(W) = T(W)/W = aW + (bW+c)^p/W = a + (bW+c)^p/W.

Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

r′(W) = [a + (bW+c)^p/W]′ = pb (bW+c)^(p-1) * W − (bW+c)^p/ W² =

(bW+c)^{p− 1}[pbW − (bW+c)] /W² = (bW+c)^p−1 [(p − 1) bW − c ] /W².

Видно, что функция r(W) имеет три критических точки, но поскольку коэффициенты b,c>0, то содержательное решение существует лишь в точке:

(p - 1) b W − c = 0,W = c/ b (p – 1). При переходе через это значение производная меняет знак с минуса на плюс, cледовательно, в данной точке функция r ( W )  достигает минимума, т.е. налоговая ставка при этом уровне дохода будет наименьшей.

Задача №12 (решите самостоятельно).

Функция спроса на данный товар имеет вид: Q_d = 7 – P.

Функция предложения: Q_s= -5 + 2 * P.

При какой ставке налога (в денежных единицах на единицу товара) общая сумма налога окажется максимальной?

Задача №13 (решите самостоятельно).

Компания изготавливает и продает 1000 изделий в месяц по цене 2000 рублей за штуку. При уменьшении цены на 50 рублей можно дополнительно продать еще 50 изделий в месяц. При какой цене фирма получит максимальный доход и каково его значение?

Задача №14 (решите самостоятельно)

Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найдите объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Немного теории:

Эластичностью функции Е_xy(x₀) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0: 
. 
Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%. 
Если E=0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным.

Поведение покупателя: цена снижается – количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт – количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся, например, инсулин, иные жизненно - важные медицинские препараты, товары первой необходимости. 
Если 0≤|E|≤1, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса ниже темпа роста цены. 

Если |E|=1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса равен темпу роста цены. 

Если |E|>1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт – темп снижения спроса выше темпа роста цены. 
Если |E|=∞, то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается – объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт – объём покупок падает почти до нуля.

Задача № 15.

Функция спроса относительно дохода имеет вид S = 4 + 1,2r + 0,44r².

Как изменится спрос, если доход увеличивается от 100 у.е. до 150 у.е.?

Решение:

E_r (S) = r/S*S^', r = 100.

Найдём эластичность функции относительно дохода по формуле

E_r = r/4 + 1,2r + 0,44r² * (0,88r + 1,2) = 1,972.

Делаем вывод: так как E_r>1, то спрос увеличивается.

Определим значение эластичности, если доход равен r = 150 у.е.

Так как доход увеличивается на 50 у.е., то есть на 50%, очевидно, что спрос увеличился на

50% * 1,972 = 98,6%.

Ответ: Увеличится на 98,6%.

Задача №16 (решите самостоятельно).

Пусть функция спроса у относительно цены х имеет вид:

у = а * е^{- 2х} ,

где а – постоянный коэффициент.

Найдите значение показателя эластичности функции спроса при цене

х = 3 ден. ед. Сделайте вывод.

Задача №17 (решите самостоятельно).

Рассчитайте эластичность функции спроса у = х² + 3х + 1 и найдите значение показателя эластичности функции при х = 3. Сделайте вывод.

Задача №18.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермерское хозяйство?

Пусть х — количество гектар под картофель на 1м поле.
Тогда (10 – х) — количество гектар под свеклу на 1м поле.
Пусть у — количество гектар под картофель на 2м поле.
Тогда (10 – у) — количество гектар под свеклу на 2м поле.
Тогда:
500х – количество центнеров картофеля на 1м поле.

5 * 500х тыс. руб. – можно получить за картофель с 1го поля.
300 ( 10 – х) – количество центнеров свеклы с 1го поля.
8 * 300 ( 10 – х ) тыс. руб. – можно получить за свеклу с 1го поля.

300у – количество центнеров картофеля на 2м поле.
5 * 300у тыс. руб. – можно получить за картофель со 2го поля.
500 ( 10 – у ) – количество центнеров свеклы с 2го поля.
8 * 500 ( 10 – у ) тыс. руб. – можно получить за свеклу с 2го поля.

Полный доход как функция двух переменных:

F(x;y) = 5 * 500x + 8 * 300 ( 10 – x ) + 5 * 300y + 8 * 500 ( 10 – y ),

F(x;y) = 100x – 2500y + 6400,

т.к. хϵ [0;10] и yϵ [0;10], то

при х = 10, у = 0 получаем доход

F(10;0) = 65000000 рублей, очевидно, что это максимальный доход.

Ответ: 65000000 рублей.

Задача №19.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию

U(t) = 0,15t² - 2t² + 200,

где t - месяц, U-миллионы.

Исследуйте оборот предприятия.

Решение:

Исследуем оборот предприятия с помощью производной:

U´(t) = 0,45t² - 4t

U´´(t) = 0,9t – 4

U´´´(t) = 0,9

………………..

Ответ: Момент наименьшего оборота при U(t) = 0, т.е. при t = 8,9.(наименьший оборот был на 9 месяце)