Решето Эратосфена

IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решето Эратосфена

Бадртдинова Л.Р. 1
1МАОУ "Гимназия"
Гульшагида Газизова Зиевна 1
1МАОУ "Гимназия"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

«Числа правят миром!» - считал великий древнегреческий ученый Пифагор. Числа с глубокой древности играют важную роль в жизни человека. Действительно, числа не только что-то измеряют, сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы. Неудивительно, что они всегда вызывали пристальное внимание к себе со стороны разума. Числам древние люди всегда приписывали особые, сверхъестественные свойства.

Я согласна с мнением Пифагора. Поэтому тема моей исследовательской работы «Решето Эратосфена» связана с числами. Объектом исследования является простое число. Предметом – «решето Эратосфена».

Сейчас простые числа используются в разных областях: шифрование, нанотехнологии, программирование и во многих других. Простые числа помогают людям быть точнее в этих областях, а сейчас точность очень важна. В нанотехнологиях, например: в эти проекты вложены большие деньги, одно неверное действие – и эти вложения не принесут пользы.
Программирование: набрал не ту цифру – и придётся программировать заново. Многодневную работу одна ошибка может запросто поломать.
Данная работа посвящена простым числам и их вычислению.

Цель: изучение алгоритма построения «решета Эратосфена», составление таблицы простых чисел и изготовление его материальной модели для использования на уроках математики.

Задачи:

Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы;

Провести опрос учащихся 6-9 классов по теме «Решето Эратосфена»;

Познакомиться со способом нахождения простых чисел «Решетом Эратосфена» и научиться находить простые числа с его помощью;

Изготовить математическую модель «Решето Эратосфена»;

Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: существует ли самое большое простое число?

Методы исследования

1. Теоретический (изучение литературы);

2. Экспериментальный (изготовление модели «решета»).

Ожидаемый результат:

Составленная таблица простых чисел;

Изготовленная модель «Решета Эратосфена».

Глава 1. Простые и составные числа

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число  Х{\displaystyle x}хххх хххххХХъххххххххххххххххххххххх
Х ХХХ
является простым, если оно больше {\displaystyle 1} 1 и при этом делится без остатка только на 1 {\displaystyle 1} и на Х {\displaystyle x}Х.К примеру, {\displaystyle 5}5 — простое число, а {\displaystyle 6}6 является составным числом, так как, помимо 1{\displaystyle 1} и 6{\displaystyle 6}, также делится на {\displaystyle 2}2 и на {\displaystyle 3}3.

Составно́е число́ — натуральное число, бо́льшее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших 1.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным числам.

Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей)[1]. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел1. Как простых, так и составных чисел бесконечно много.

Глава 2. Краткая биография Эратосфена

2.1 Кто такой Эратосфен?

Считается, что этот человек вычислил достаточно точные размеры Земли, но были у этого древнегреческого ученого и главы знаменитой Александрийской библиотеки и другие достижения. Круг его интересов поражает: от филологии и поэзии до астрономии и математики. Вклад Эратосфена в географию поражает воображение по сей день. Это во многом обусловлено неординарностью личности древнегреческого ученого. Необходимо раскрыть наименее известные факты в биографии этого загадочного человека и выдающегося ученого, чтобы ответить на вопрос о том, кто такой Эратосфен.

2.2 Краткие общие сведения о личности

История сохранила краткие сведения из биографии Эратосфена, однако на него очень часто ссылались авторитетные и знаменитые мудрецы, философы античности: Архимед, Страбон и другие. Датой его рождения принято считать 276 год до н. э. Родился Эратосфен в Африке, в Кирене, поэтому нет ничего удивительного в том, что своё образование он начал в столице птолемеевского Египта – Александрии. Современники не зря дали ему прозвище Пентакл, или многоборец. Живой ум Эратосфена пытался постичь практически все известные на тот момент науки. И как все учёные, он наблюдал за природой. Сохранилось ещё одно прозвище, описывающее труды и открытия Эратосфена. Его ещё называли «бетой», или «вторым». Нет, этим они ни в коей мере не хотели унизить его. Это прозвище говорило о его эрудиции и достаточно высоких достижениях в изучении наук.

2.3 Что значит быть древним греком?

Древние греки были искусными путешественниками, воинами и торговцами. Новые страны и земли манили их, обещая выгоду и знания. Древняя Греция, разделённая на множество полисов, и существующий пантеон богов, где каждый из них был покровителем определённого полиса, была скорее геополитическим пространством. Греки были не национальностью, это была культурная эллинистическая общность людей, считающая все остальные народы варварскими, которым необходимо помочь, познакомив их с культурой и цивилизацией.

Поэтому Эратосфен, как и большинство древнегреческих философов, так увлечённо любил путешествовать. Тяга к новому и привела его в Афины, где он продолжил своё обучение.

2.4 Жизнь в Афинах

В Афинах он не терял времени даром и продолжил обучение. Поэзию ему в своё время, помогал постигать великий Каллимах грамматику – Лисаний. Кроме этого, он ознакомился с философскими учениями и школами стоиков и платонистов. Себя он называл приверженцем последней. Впитывая знания в двух знаменитейших центрах науки и культуры Древней Греции, он лучше всех подходил на роль наставника для наследника. Птолемей III, не скупясь на посулы и обещания, уговорил ученого вернуться в Александрию. И Эратосфен не смог устоять перед возможностью поработать в Александрийской библиотеке, а впоследствии он стал её главой.

Александрийская библиотека

Библиотека была не просто академией или местом собрания древних

знаний. Она была сосредоточием науки того времени. Задаваясь вопросом о том, кто такой Эратосфен, нельзя не упомянуть о той деятельности, которую он развернул, будучи назначенным главным хранителем Александрийской библиотеки.

Здесь жили и работали многие знаменитейшие философы античности, а также готовились кадры для администрации Птолемеев. Огромный штат переписчиков и наличие папируса позволяли пополнять фонды на месте. Александрийская библиотека достойно соперничала с Пергамской. Были предприняты ещё некоторые шаги, направленные на увеличение фонда. Все найденные на кораблях свитки и пергаменты бережно копировались. Ещё одно нововведение Эратосфена – это учреждение целого отдела, изучающего Гомера и его наследие. Немало он тратил и своих личных средств на покупку древних свитков. По некоторым сохранившимся до наших дней сведениям, здесь хранилось свыше семисот тысяч рукописей и пергаментов. Эратосфен продолжил дело своего учителя Каллимаха, который основал научную библиографию. И до 194 года до н. э. верно исполнял возложенные на него обязательства, пока с ним не случилось несчастье – он ослеп и не мог заниматься любимым делом. Это обстоятельство лишило его тягу к жизни, и он умер, перестав принимать пищу.

Крёстный отец географии

Книга Эратосфена «Географика» – это не просто научный труд. В ней

была произведена попытка систематизировать полученные на тот момент знания об изучении Земли. Так зародилась новая наука – география. Эратосфена считают и создателем первой карты мира. В ней земную поверхность он разделил условно на 4 зоны. Одну из этих зон он выделил для проживания людей, поместив её строго на севере. По его представлениям и на основании известных тогда данных человек чисто физически не мог существовать южнее. Слишком горячий климат сделал бы это невозможным.

Отдельно стоит упомянуть изобретение системы координат. Это было сделано для упрощения поиска любого пункта на карте. Также были введены впервые такие понятия, как параллели и меридианы. География Эратосфена дополнена ещё одной идеей, которой придерживается и современная наука. Он, как и Аристотель, считал Мировой океан единым и безраздельным. Официальная история утверждает, что великая Александрийская библиотека была варварски уничтожена римскими легионерами. По этой причине множество древних бесценных трудов не дошли до наших дней. Сохранились лишь некоторые фрагменты и отдельные упоминания. Не стала исключением и «Географика» Эратосфена.

2.7 «Катастеризмы» – превращение в созвездие

Древние греки, как и множество других народов, уделяли самое пристальное внимание звёздному небу, о чем свидетельствуют некоторые дошедшие до нас труды. В биографии Эратосфена упоминается его интерес к астрономии. «Катастеризмы» – трактат, в котором соединились древняя мифология греков и наблюдения более чем за 700 небесными объектами. Вопрос об авторстве Эратосфена до сих пор вызывает множество споров. Одна из причин – стилистическая. Крайне сложно поверить, что Эратосфен, уделявший столько внимания поэзии, написал «Катастеризмы» сухим, лишённым любой эмоциональности слогом. Кроме того, этот исторический источник грешит и астрономическими погрешностями. Однако официальная наука приписывает авторство именно Эратосфену.

2.8 Измерение размеров Земли

Наблюдательные египтяне заметили один интересный факт, который потом лёг в основу принципа измерения Земли Эратосфеном. В дни солнцестояния в разных уголках Египта солнце освещает дно глубоких колодцев (Сиена), а в Александрии такого явления не наблюдается.

Какой инструмент использовал Эратосфен, чтобы вычислить размеры Земли? 19 июня 240 года до н. э. в Александрии в день летнего солнцестояния при помощи чаши с иглой он определил угол нахождения солнца на небе. Отталкиваясь от полученного результата, ученый высчитал радиус и окружность Земли. Она составила по разным источникам от 250000 до 252000 стадий. В переводе на современную систему исчислений получается, что средний радиус Земли составил 6287 километров. Современная наука вычисляет такой радиус и даёт величину, составляющую 6371 км. Стоит отметить, что для того времени такая точность вычисления была просто феноменальной.

2.9 Мезолябия

К сожалению, до наших дней практически не сохранились работы Эратосфена в области математики. Все сведения дошли до современности в комментариях Евтокия о письмах Эратосфена к царю Птолемею. В них изложена информация о делийской задаче (или «удвоение куба»), дается описание механического прибора мезолябия, служащего для извлечения кубических корней.

Прибор состоял из трех равных прямоугольных треугольников и двух реек. Одна из фигур закреплена, а остальные две могут передвигаться по рейкам (AB и CD). При условии, что точка K находится на середине стороны DB, а два свободных треугольника расположены таким образом, что пункты пересечения их сторон (L и N) совпадают с прямой AK, объем куба с ребром ML будет в два раза больше куба с ребром DK.

Глава 3. Решето Эратосфена

3.1 Суть «Решета Эратосфена»

Этот прием, применяемый ученым, описан в трактате Никомаха Геразенского и служит для определения простых чисел. Было замечено, что некоторые числа можно разделить на 2, 3, 4 и 6, а иные делятся без остатка только сами на себя. Последние (к примеру, 7, 11, 13) и называются простыми. Если нужно определить небольшие числа, то, как правило, проблем не возникает. В случае с большими руководствуются правилом Эратосфена. Во многих источниках до сих пор оно называется решетом Эратосфена, и других способов определения простых чисел не изобретено.

Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только числа простые. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000.

Суть метода заключается в следующем. Все числа выписываются в квадратной таблице (например, 10 х 10) и дальше зачеркиваются те, что делятся на 2, на 3, на 5 (т.к. те, что делятся на 4, уже зачеркнуты, раз они делятся на 2), на 7 (так как те, что делятся на 6, зачеркнуты, четные) и т.д.

Практическая работа «Нахождение простых чисел от 2 до 1999»

На форзаце нашего учебника математики приведена таблица простых чисел от 2 до 997. Следуя выше названному алгоритму, я искала простые числа. Я составила таблицу простых чисел от 2 до 1999. Процесс нахождения простых чисел представлен в приложении.

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

411

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1069

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1367

1373

1381

1399

1409

1423

1427

1429

1433

1439

1447

1451

1453

1459

1471

1481

1483

1487

1489

1493

1499

1511

1523

1531

1543

1549

1553

1559

1567

1571

1579

1583

1597

1601

1607

1609

1613

1619

1621

1627

1637

1657

1663

1667

1669

1693

1697

1699

1709

1721

1723

1733

1741

1747

1753

1759

1777

1783

1787

1789

1801

1811

1823

1831

1847

1861

1867

1871

1873

1877

1879

1889

1901

1907

1913

1931

1933

1949

1951

1973

1979

1987

1993

1997

1999

                       

От 2 до 997 всего 168 простых чисел. От 2 до 1999 простых чисел - 303.

Проводя вычисления, я убедилась, что простых чисел бесконечно много и невозможно найти самое большое простое число.

Практическая работа «Изготовление модели «Решета Эратосфена»»

Мы попробовали сделать модель решета Эратосфена. Для этого взяли квадратную фанеру 40 см на 40 см. Расчертили таблицу. В таблице 10 строк и 10 столбцов. Написали числа от 1 до 100. Число 1 убрали. Согласно алгоритму, «отсеяли» составные числа. С помощью шуруповёрта мы просверлили дырочки на месте составных чисел.

3.4 Применение простых чисел в жизни

Меня заинтересовало, а как эти числа применяются в нашей жизни? С натуральными числами все понятно. Они нужны для счета или нумерации предметов. А вот про простые числа так не скажешь. Они очень даже загадочные, т.к. отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Я выяснила, что простые числа нашли свое применение в современной криптографии – науке, которая исследует в том числе методы шифрования (тайнописи). Электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь — все это защищено секретными кодами, непосредственно основанными на свойствах простых чисел.

Глава 4. Социологический опрос

Среди своих сверстников я провела анкетирование. В анкете было 3 вопроса.

Знаете ли вы, кто такой Эратосфен?

Да

Нет

Знаете ли вы, что такое простые числа?

Да

Нет

Вам знакомо понятие «Решето Эратосфена»?

Да

Нет

В опросе приняли участие 20 человек.

На 1 вопрос ответ «Да» дали 12 человек, «Нет» - 8 человек.

На 2 вопрос дали положительный ответ 10 сверстников и 10 – отрицательный.

На 3 вопрос ответ «Да» дал только один человек из опрошенных.

Вопрос

Ответ «Да»

Ответ «Нет»

№1

12

8

№2

10

10

№3

1

19

Результаты анкетирования продемонстрированы на диаграмме. С понятием «Решето Эратосфена» большинство ребят незнакомы.

Заключение

Подводя итог проделанной работе, мы пришли к выводу, что поставленные задачи решены, цель достигнута. Прием «Решето Эратосфена» для определения простых чисел можно использовать и в наше время. Эратосфен составил таблицу простых чисел от 2 до 997. Я научилась находить простые числа с помощью этого метода, составила таблицу простых чисел от 2 до 1999. Мы сделали материальную модель «Решета Эратосфена», которую можно использовать на уроке математики. Проводя вычисления, я убедилась, что простых чисел бесконечно много и невозможно найти самое большое простое число.

Узнала, что свойства простых чисел применяются в криптографии. Поэтому я согласна с высказыванием Пифагора, что числа правят миром.

Список использованных источников

Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.

https://fb.ru/article/352984/kto-takoy-eratosfen-biografiya-otkryitiya-uchenogo. Время доступа 06.02.2020 в 19.02

Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 15-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015 – 264 с.

https://www.sites.google.com/site/matematikachisla/

Время доступа 06.02.2020 в 19.31

Приложение

Приложение 1. Практическая работа «Составление таблицы простых чисел от 2 до 1999»

Приложение 2. Практическая работа «Изготовление «Решета Эратосфена»

Приложение 3. Анкета

Знаете ли вы, кто такой Эратосфен?

a) Да

b) Нет

Знаете ли вы, что такое простые числа?

a)Да

b) Нет

Вам знакомо понятие «Решето Эратосфена»?

a) Да

b) Нет

1 Раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел.

21

Просмотров работы: 928