IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение текстовых задач с помощью графиков линейной функции
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Математика является одним из основных предметов школьного образования, ее мы изучаем с 1-го класса. Уже в начальных классах мы нередко решаем текстовые задачи. Вообще решению текстовых задач в школе уделяется достаточно много внимания, так как современный человек, независимо от рода деятельности и уровня образования, должен уметь решать задачи. В этом я убедился, работая над проектом «Нужна ли математика?» в 5 классе. До 5 класса мы решали задачи по действиям, начиная с 5 класса, некоторые задачи мы решаем с помощью уравнения.
В этом учебном году на уроках алгебры мы изучили тему «Линейная функция, ее свойства и график», а на уроках физики при изучении темы «Механическое движение» чертили графики зависимости пути от времени движения, это были графики линейной функции. У меня сложилось мнение, что графики служат обычно для иллюстрации и лучшего запоминания свойств изучаемых функций, а построение чертежей дает возможность «увидеть» задачу. Мне стало интересно узнать, применяются ли свойства и графики линейной функции при решении задач на движение, а также других текстовых задач.
В связи с этим возникла тема моего исследования «Применение графиков линейной функции при решении текстовых задач». Работа посвящена текстовым задачам, при решении которых применяются графики линейной функции.
Актуальность моей работы заключается в том, что знание нескольких методов решения задачи увеличивает возможность её правильного решения и позволяет выбрать наиболее рациональный в данной ситуации.
Цель работы: изучить применения графиков линейной функции при решении текстовых задач.
Цель исследования обусловила следующие задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Рассмотреть способы решения текстовых задач с помощью графиков линейной функции.
3. Провести сравнительный анализ различных методов решения текстовых задач.
4. Привести примеры решения задач из типовых экзаменационных вариантов.
Гипотеза: графический метод упрощает решение текстовых задач.
Объект исследования – текстовые задачи.
Предмет исследования – способ решения задач с помощью графиков линейной функции.
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Для умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности решение её различными способами. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.
В качестве основных способов в математике различают арифметический и алгебраический.
Решить задачу арифметическим способом значит выполнить арифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.
Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств).
Если использовать чертёж при решении, то можно легко дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим. Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалом. Следует отметить, что благодаря применению графического способа можно сократить время решения задач. В то же время умение графически решать задачу – это важное политехническое умение. Графический способ иногда даёт возможность ответить на вопрос такой задачи, которую сложно решить алгебраическим способом.
Графический способ решения любых задач и проблем очень удобен своей наглядностью, так как вырисовывается вся картина целиком, и не нужно удерживать в памяти разрозненные куски.
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
Графический метод решения задач появился во времена Евклида (III век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Особенность его применения в алгебре состояла тогда в том, что он предполагал решение задач только с помощью построений и законов геометрии.
Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат. Решение задач графическим методом требует творческого подхода и глубокого понимания процессов, описанных в задаче. Изображая графики процессов, можно находить зависимости между величинами, применяя геометрические знания, а можно решать задачу привычным способом. Построенная модель зависимости между величинами помогает увидеть отношения между этими величинами. На этих двух подходах основано использовании графиков при решении текстовых задач.
В школьных задачах, как правило, описываются процессы с постоянной скоростью его протекания. Поэтому, независимо от вида процесса, его характеристики связаны одной и той же линейной зависимостью: результат процесса равен произведению скорости и времени его протекания.
Действие движения характеризуется тремя компонентами: пройденный путь s, скорость v и время t Известно соотношение между ними s= vt. Работу характеризуют также три компонента действия: время работы t, объем работы V и производительность N (количество произведенной работы в единицу времени). Существует следующее соотношение между этими компонентами: V = N t. В задачах на смеси и сплавы обычно присутствуют тоже три величины: концентрация (доля чистого вещества в смеси (или сплаве)), количество чистого вещества в смеси (или сплаве), масса смеси (сплава). Соотношение между этими величинами: масса смеси концентрация = количество чистого вещества.
Решение текстовой задачи графическим способом осуществляется в три этапа:
Построение графической модели задачи.
Решение получившейся графической задачи.
Перевод полученного ответа с графического языка на естественный.
Рассмотрим подробно реализацию этих этапов в процессе решения текстовых задач.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
Большое значение в математике имеют задачи на движение. Задачи на движение подразделяются на следующие типы: по количеству движущихся объектов, по направлению движущихся объектов, по времени начала движения.
Методы решения текстовых задач на движение, использующие графики, обладают большой простотой и изяществом. При решении задач на движение вводится система координат, причем на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат – пройденное расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной точки. Движущийся объект в любой момент времени занимает определённое положение, т.е. находится на определённом расстоянии от этой фиксированной точки, а значит, изображается некоторой точкой в данной системе координат. В процессе движения объект изменяет своё положение, и изображающая его точка вычерчивает некоторую линию – график движения. Приведу примеры нескольких задача, в них будем считать движение равномерным и графики движения прямолинейными.
Задача 1. Из пункта A вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?
Р ешение 1. За начальный отсчет времени берется момент выхода грузовой машины (рис. 1), тогда момент выхода легковой машины будет через два часа. Зная скорости движения объектов, построим графики движения. По чертежу видно, что точка пересечения графиков показывает встречу машин, она состоялась на расстоянии 360 км.
(рис. 1) Ответ: 360 км.
Решение 2. Пусть х ч. – время движения легковой машины, тогда (х+2) ч. – время движения грузовой машины. Составляем уравнение 60(х+2)=90х. Решив уравнение, получим, что легковая машина двигалась 4 часа, отсюда расстояние равно 360 км.
Задача 2. С противоположных концов катка длиной 120 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если второй начнет бег через 5 секунд после первого и если первый пробегает 6 м/с, а второй – 9 м/с? Решение 1. Отрезок ОМ – график движения . (рис.2) первого мальчика. Так как мальчики движутся навстречу друг другу, то возникает необходимость ввести вторую систему координат, где оси Оt сонаправлены, и масштабы на них одинаковые. Вертикальные оси противоположно направлены. График движения второго мальчика – отрезок O1K. Абсцисса точки С пересечения графиков показывает время, через которое мальчики встретятся. Ответ: 11с.
Решение 2. Пусть х с.– время (рис. 2) движения второго мальчика, тогда время первого – (х+5) с. Составим уравнение, учитывая, что сумма расстояний равна 120м: решив которое, получим, что х = 6 с. Тогда время, через которое они встретятся – 11 с.
Задача 3. Из городов, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Скорость одного из них была на 2 км/ч больше скорости другого. Через 2 часа лыжники оказались на расстоянии 8 км друг от друга. С какой скоростью шёл каждый лыжник?
Р ешение 1. Пусть лыжники двигались с одинаковыми скоростями. Учитывая, что они двигались навстречу друг другу и, что между ними расстояние – 8 км, построим графики движения. По графику видно, что их скорость равна 8 км/ч. Но т.к. разница в скоростях составляет 2 км/ч, получаем, что скорость первого лыжника 7 км/ч, а второго 9 км/ч. Но может быть ещё случай, когда 8 км было оооооо (рис. 3) между лыжниками после встречи. Тогда одинаковая скорость – 12км/ч, значит скорость первого лыжника 11км/ч, а второго–13км/ч.
Решение 2. Пусть х км/ч скорость первого лыжника, тогда скорость второго – (х+2) км/ч. Составим уравнение по условию задачи: 40 – (2х +2(х+2)) = 8. Решив уравнение, получим, что скорость первого лыжника 7 км/ч, а второго 9 км/ч. Во втором случае уравнение составим так: (2х +2(х+2)- 40 =8. Получим, что скорость первого лыжника 11 км/ч, а второго – 13 км/ч.
Если сравнивать способы решения, то графический метод позволяет быстрее и нагляднее решить задачу, особенно для тех учащихся, кто ошибается при составлении уравнения по условию задачи или при его решении.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ
Графический метод можно применить при решении задач, не связанных с движением каких-либо объектов. Сложными считаются задачи на смеси и сплавы. Рассмотрим решение таких задач двумя способами.
Задача 1. Один сплав содержит металлы в отношении 1: 5, другой сплав содержит эти же металлы в отношении 5: 7. В какой пропорции нужно взять первый и второй сплавы, чтобы получить сплав, содержащий те же металлы в отношении 1: 3?
Р ешение 1. По вертикальной оси отложим вес сплава в условных единицах (рис.1). По горизонтальной оси - вес первого металла в тех же условных единицах. Первый металл в первом сплаве составляет 1/6 часть. Взяв по горизонтали 1 у.е., а по вертикали 6 у.е., получим точку С. Прямая ОС будет характеризовать первый сплав. Взяв произвольную точку на этой прямой и спроецировав ее на оси, мы определим, сколько условных единиц весит весь сплав и сколько условных единиц составляет в . (рис.1) нем вес первого металла. Взяв по горизонтали точку 5 и по вертикали точку 12, получим точку D. Соединив ее прямой линией с началом координат, получим график, характеризующий второй сплав. Аналогично получим характеристику третьего сплава. Из любой точки вертикальной оси, например, на уровне точки D, проведем горизонтальную
прямую, пересекающую характеристики в точках М, N и D. Отношение длины отрезка ND к длине отрезка MN даст пропорцию, в которой нужно взять сплавы I и II соответственно, так как в данном случае отрезок ND в 2 раза больше отрезка MN, то необходимо взять 2 части первого сплава и 1 часть второго сплава. Можно просто измерить отрезки линейкой. Ответ: сплавы необходимо брать в пропорции 2: 1.
Решение 2. Пусть х кг – первого сплава, у кг – второго сплава. Тогда, вес первого металла в новом сплаве
, вес второго металла в новом сплаве . Новый сплав содержит металлы 1:3, тогда . Преобразовав данное выражение, получим 8у = 4х, отсюда . Ответ: 2: 1.
Задача 2. Сплавили два слитка. Первый весил 100 г и содержал 40% меди, второй весил 400 г и содержал 60 % меди. Какой процент меди содержится в получившемся сплаве? [1]
Решение 1. По вертикальной оси отложим количество чистого вещества, на горизонтальной – массу сплава (рис.2).
Построим графики, характеризующие первый и второй сплавы. Учитывая, что в 500 г получившегося сплава содержится 280 г чистого вещества, построим прямую, х арактеризующую новый сплав. По графику видно, что в 100 г нового сплава содержится 56 г чистого вещества. Следовательно, в оооо (рис. 2) получившемся сплаве содержится 56% меди.
Решение 2. Пусть х % – меди в новом сплаве, вес нового сплава 500 г. Используя условие задачи, получаем уравнение: + = . Решив уравнение, получим ответ: х = 56%.
В данном случае графики также позволяют наглядно увидеть ответ задачи, причем временные затраты меньше, чем решение задачи с помощью уравнения.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ
При решении задач на совместную работу, на вертикальной оси откладывается отрезок, соответствующий количеству работы, а на горизонтальной время работы объектов, данных в задаче. Рассмотрим примеры решений задач двумя способами.
З адача 1. Чтобы выкачать воду из котлована, поставили два насоса. Оба насоса могли бы выкачать всю воду за 10 часов. Однако после 3 часов совместной работы один насос сломался, и другому насосу пришлось работать ещё 14 часов, чтобы выкачать оставшуюся воду. За сколько часов, действуя отдельно, каждый насос мог бы выкачать всю воду из котлована? Решение 1. По вертикали отложим отрезок, условно соответствующий количеству воды в котловане. По горизонтали – время работы насосов (пусть они начнут работу в 6 ч. утра). (рис.1). По графику видно, что если второй насос один начал (рис 1.) бы выкачивать воду в 3 часа, то окончил бы работу в 23 часа. Значит, второму насосу потребуется для выкачивания всей воды 20 часов. Т.к. оба насоса вместе выкачивают воду за 10 часов, то первому насосу потребуется также 20 часов для работы.
Решение 2. Пусть за х ч. выкачает весь котлован первый насос, за у ч.- второй насос.
Производительность в час обоих насосов , тогда за 3 часа совместной работы насосы выкачали котлована, значит осталось выкачать котлована.
Так как 14 часов работал один второй насос, то составляем уравнение: 14 . Решив это уравнение, получим х = 20. Значит, второй насос всю работы выполнит за 20 часов. Чтобы найти время работы первого насоса, решим уравнение: . Отсюда у = 20. Ответ: каждому нужно по 20 часов.
Задача 2. Игорь и Паша могут покрасить забор за 30 часов, Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 36 часов, а Володя и Игорь – за 45 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
Р ешение 1. На вертикальной оси отметим отрезок условно соответствующий всей работе (рис 2). На горизонтальной оси – время. Удобный масштаб: 3 часа– 1 клетка. Прямая ОD – производительность Володи и Игоря, прямая ОК – производительность Паши и Володи, прямая ОМ – Игоря и Паши. Проведя (рис.2) через любую точку горизонтальной оси, например, отметку 3 часа, вертикальную линию и отметив на ней точки пересечения ее с прямыми ОМ, ОК и OD, построим на ней сумму отрезков, соответствующих производительности каждой пары ребят. Получим точку F. Спроецировав точку F на вертикальную ось, мы можем узнать, какую часть забора покрасят 2 первых, 2 вторых и 2 третьих мальчика при совместной работе в течение одного часа. Проведя прямую ОF до пересечения с верхней горизонтальной осью, мы попадем в точку А, соответствующую времени 12 часов. Это половина необходимого времени, так как каждый мальчик участвует дважды в работе. Значит, для того, чтобы покрасить забор трем мальчикам потребуется 24 часа. Ответ: 24 часа
Решение 2. Пусть х – производительность Паши, у – производительность Володи, z – Игоря. Тогда: х+у = , у+z = , х+z = . Проссумируем : (х+у)+ (у+z) + (х+z)= + + .Из этого следует : х + у+ z = = . Значит, на всю работу потребуется 24 часа.
Трудность в данной задаче была в том, что масштаб был выбран не сразу. Мы видим, что такие задачи удобнее решать графическим методом, если задано небольшое количество часов, тогда на горизонтальной оси 1 час будет крупнее, и тогда удобнее отмечать точку F.Ответ будет читаться нагляднее.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью данной работы было изучение применения графиков линейной функции в решении текстовых задач. В процессе работы над данной темой, выяснилось, что при решении текстовых задач наряду с традиционными методами, можно использовать и графический метод, который предполагает построение графиков линейных функций.
Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач из экзаменационных материалов разными способами, проведен сравнительный анализ.Гипотеза подтвердилась частично. Конечно, алгебраический способ – универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи. И, если есть сомнения, что получен правильный ответ, то можно решить задачу другим способом.
По результатам исследования можно сделать следующие выводы:
Одно из преимуществ графического метода перед алгебраическим состоит в наглядности решения, что позволяет лучше понять задачу.
Использование этого метода упрощает решение задач: нет громоздких вычислений.
Графическим методом решаются задачи не только на движение, но и на совместную работу, на смеси и сплавы.
Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между алгебраическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление.
График дает возможность определить, есть ли у данной задачи решение и единственно ли оно.
Есть и «минусы»: иногда получаются приближённые значения в случаях неудачного масштаба.
Настоящее исследование значительно расширило представление о линейной функции, способствовало глубокому пониманию взаимосвязи этой функции с реальными ситуациями, возникающими в нашей жизни. Есть планы продолжить исследование в этом направлении: при решении некоторых задач применяется графико-геометрический метод, который основан на подобии треугольников.
Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях по математике при подготовке обучающихся к экзаменам. Этот материал позволит повысить образовательный уровень обучающихся.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кочагин В.В. ОГЭ 2018. Математика: тематические тренировочные задания: 9 класс. – Москва: Эксмо, 2017. – 192 с.
Лунина Л.С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом //Математика в школе: М.: Изд. «Школа-Пресс»,1996.-№4.- с.34-39.
Рудин В.Н., Рудина Е.И. Графическое решение текстовых задач. Учебное пособие по математике для учителей и учащихся. Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995 г.
Ященко И.В., Волчкевич М.А. и др. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ. – М.: Издательство «Экзамен», 2018. – 263 с.
https://infourok.ru/