IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Площадь плоских фигур
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Г. Галилей
В наше время ученики сталкиваются с такой проблемой, как неумение подбирать нужные формулы для решения задач. Это же и происходит и в таком разделе геометрии, как «Площадь плоских фигур». Для одной фигуры существуют несколько формул на отыскание площади, но не все их знают и умеют применять.
Этот проект поможет показать и объяснить на конкретных примерах, как и в каких случаях нужно использовать ту или иную формулу.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Введение
Проблема
Незнание различных формул для нахождения площади у плоских фигур. Неумение анализировать условие и то, как с его помощью прийти к ответу.
Актуальность проблемы и практическое использование результатов
Актуальность данного состоит в том, что ученикам не хватает практики в решении задач на тему «Площади плоских фигур». Не в каждом классе учителя успевают дать углубленный материал для отличной сдачи экзамена или успешного выступления на олимпиаде.
Объект исследования
Свойства фигур, теоремы и выявление из них нестандартных формул.
Гипотеза
Неправильный анализ задачи зачастую усложняет поиск нужного решения, ученик ищет то, что может, а не то, что надо. Это приводит к путанице и к усложнению хода решения задачи. Формулы — лишь инструмент, но чем лучше мы ими владеем, тем успешнее мы можем анализировать и решать задачи. Именно поэтому знание формул необходимо.
Описание метода. Этапы проведения исследования
Выбор темы, формулировка проблемы.
Изучение теоретического материала о площадях фигур.
Поиск ранее проведенных исследований на данную тему.
Выбор объектов исследования (математических задач) и методов решения проблемы.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Цель работы
На наглядных примерах показать какие, помимо стандартных, существуют еще формулы для вычисления площади у фигуры.
Методы и приёмы, которые использовались в работе
1.Поисковый метод
использование литературы, а также сети Интернет для поиска информации
2. Анализ данных, полученных в ходе исследований.
Причины использования предлагаемых методов и приёмов
наглядность
актуальность
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Площадь треугольника
Треугольник является самым простым многоугольником с той точки зрения, что проще уже не придумать. Он встречается наиболее часто, поэтому начнём рассмотрение площадей многоугольников именно с треугольников.
Треугольники бывают разносторонними, равнобедренными, равносторонними, прямоугольными, и для каждого из них существуют отдельные формулы. Но начнём с формул для обычного треугольника, разновидность которого нам неизвестна
Формула площади треугольника по стороне и высоте.
П лощадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты:
S = a · h
Опустив высоту на противолежащую сторону, заметим, что наш треугольник теперь состоит из 2 прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна половине произведению катетов. Высота h будет являться общим катетом, сумма двух других как раз даёт сторону а.
Формула площади треугольника по трем сторонам.
Формула Герона:
S =
Проведем высоту CC1 и обозначим х длину отрезка АС1. Тогда ВС1=с-х. По теореме Пифагора получаем:
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решим это уравнение и найдем х:
Тогда:
=
=
=
=
=
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними:
S = a · b · sin γ
Как видно на рисунке, высота равна произведению стороны b на синус прилежащего угла. Отсюда и из пункта 1 следует данная формула.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности:
S =
Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними равна
По следствию из теоремы синусов,
Выразим из этой формулы синус альфа
и подставим полученное выражение в первую формулу
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности:
S = p · r
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Проведём радиусы к сторонам треугольника. Центр вписанной окружности соединим с окружностями, получим разбиение основного треугольника на 3 новых. Теперь воспользуемся формулой 1, чтобы найти площади каждого из трёх треугольников. Их высоты будут радиусами, в итоге общая площадь будет равна:
где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, h - высота треугольника, γ - угол между сторонами a и b, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности
К нашему счастью, может оказаться так, что треугольник, например, равнобедренный. Тогда некоторые формулы могут упроститься. К примеру, формула Герона примет куда более приятный вид:
где b – основание равнобедренного треугольника, а — сторона равнобедренного треугольника
А для равностороннего треугольника вообще всё просто:
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Все новые формулы можно получить, пользуясь только основными. Для этого нужно понимать, какой перед нами треугольник, чтобы на основе его свойств получить упрощенную формулу.
Теорема:
Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Доказательство:
Пусть S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1, у которыхLА=LА1. Докажем, что
Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной А, а стороны A1B1 и A1C1наложилисьсоответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и AB1C имеют общую высоту CH, поэтому
Треугольники AB1C иAB1C1также
имеют общую высоту B1H1, поэтому
П еремножая полученные равенства, находим:
или
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Площадь четырехугольника
Среди многоугольников с более, чем 3 вершинами, чаще всего встречаются четырехугольники. Они, в свою очередь, бывают выпуклыми и впуклыми. Следующие формулы не всегда действуют для впуклых четырехугольников, но для выпуклых их можно применять смело.
Ф ормула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
S = d1d2 sinα
Где S - площадь четырехугольника, d1, d2 - длины диагоналей четырехугольника, α - угол между диагоналями четырехугольника.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD делят его на 4 треугольника.
Площадь каждого из треугольников равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:
∠BOC=180°-∠AOB=180°-φ (как смежные).
∠COD=∠AOB=φ,
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
∠AOD=∠BOC=180°-φ (как вертикальные).
sin (180°-φ)=sin φ.
Отсюда
Таким образом,
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности). Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:
Где S - площадь четырехугольника, a, b, c, d - длины сторон четырехугольника, p = - полупериметр четырехугольника, θ = - полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
S = p · r
Доказательство аналогично доказательству формулы 5 из раздела про площади треугольников
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов:
S =
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность:
S =
Также известна как формула Брахмагупты
Формула вытекает из 3, так как угол θ будет равен 180 градусам.
Выпуклые четырёхугольники могут обладать свойствами, из-за которых они относятся к группам фигур, таких как: параллелограмм, ромб, трапеция, прямоугольник, квадрат, дельтоид
Имеют место быть следующие высказывания:
Если четырехугольник является параллелограммом, то он является и трапецией.
Если четырехугольник является ромбом, то он является и параллелограммом.
Если четырехугольник является прямоугольником, то он является параллелограммом.
Если четырехугольник является квадратом, то он является и трапецией, и параллелограммом, и ромбом, и прямоугольником, и дельтоидом.
Эти утверждения позволяют нам использовать свойства более сильных четырехугольников для четырехугольников послабее. То есть, для параллелограмма верны все те утверждения, которые верны и для трапеций.
Помимо формул, которые мы будем рассматривать ниже для каждого класса четырехугольника, стоит помнить и об общих формулах для всех выпуклых четырехугольников.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Площадь круга
Круг уже не является многоугольником, так как не имеет вершин как таковых. Поэтому все формулы площади, действующие для многоугольников, не действуют для круга.
Формула площади круга через радиус. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи:
S = π r2
Для доказательства этой формулы нужно хорошо владеть понятием предела, поэтому пока оставим её без доказательства.
Формула площади круга через диаметр (следствие из формулы 1).
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи:
где S - Площадь круга,
r - длина радиуса круга,
d - длина диаметра круга.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Задачи
Н айдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 1500.
Используем формулу площади параллелограмма:
Стороны равны 1, а острый угол будет равен 300:
Ответ: 0,5
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
Известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, также они точкой пересечения делятся пополам. Построим эскиз следующим образом и отметим на нём размеры половин диагоналей:
получается, что ромб диагоналями разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 2 и 6. Можем вычислить площадь этого треугольника:
Так как все четыре треугольника образованные диагоналями равны, то
Ответ: 24
С торона ромба равна 4. Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно 1. Найдите площадь ромба.
Пусть в ромбе ABCD: O – точка пересечения диагоналей, OH – расстояние до стороны AB, тогда S△ABO=12⋅1⋅4=2. Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных
треугольника ⇒ SABCD=4⋅2=8. Ответ:8
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
В треугольнике ABC даны три стороны: AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Найдите часть
площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.
Пусть BP и BQ – высота и биссектриса данного треугольника ABC. По формуле Герона
14*6*4=336
С другой стороны, Поэтому
По свойству биссектрисы треугольника .
Поэтому AQ = AC = 13. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APB находим, что
10.
Следовательно, PQ = AQ – AP = 13 – 10 = 3, .
Ответ:36
Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции.
Пусть AC=12 и BD=6 – диагонали трапеции ABCD , AD и BC – её основания, причём AD+BC = 14 . Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD . Пусть E – точка пересечения этой прямой с прямой AD . Тогда BCED – параллелограмм, DE = BC , CE = BD = 6 . Если h – высота трапеции, то
По формуле Герона
SΔ ACE = = = 16 .
Следовательно,
SABCD = SΔ ACE = 16 .
Ответ16 .
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Метод площадей
Теорема 1.
Е сли вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной противолежащей стороне, то площадь при этом останется прежней.
Д оказательство: Рассмотрим три треугольника △ABC,△A1BC,△A2BC. Т.к. A1A2∥BC, то расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой одинаково. То есть высоты, опущенные из точек A,A1,A2 на прямую BC будут равны: AH=A1H1=A2H2=h. Т.к. у этих треугольников общее основание BC, то:
Теорема 2.
Е сли два треугольника имеют равные высоты (общую высоту), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Д оказательство: Рассмотрим треугольники △ABC и △ABC1: т.к. высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону, то AH — высота и △ABC, и △ABC1. Следовательно:
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Теорема 3.
Е сли два треугольника имеют одинаковые стороны (общую сторону), то их площади относятся как высоты, которые к этим сторонам проведены.
Д оказательство: Рассмотрим треугольники △ABC и △ABC1. Проведем на их общую сторону AB высоты CH и C1H1. Тогда:
Следствие: Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади. Доказательство: по теореме 2 площади △ABM и △CBM относятся как основания AM и CM. Но AM=CM⇒S△ABM=S△CBM.
Следствие: Все три медианы треугольника делят его на шесть треугольников, равных по площади. Доказательство: т.к. AK — медиана △ABC, то S△1+S△2+S△3=S△4+S△5+S△6. Т.к. OK — медиана △OBC, то S△3=S△4. Следовательно, S△1+S△2=S△5+S△6 (∗). Т.к. ON — медиана △AOB, то S△1=S△2, аналогично, S△5=S△6. Следовательно, подставляя эти равенства в (∗), получим: 2S△1=2S△6⇒S△1=S△6⇒S△2=S△5. Аналогично доказывается, что S△4=S△5. Таким образом, площади всех этих треугольников равны.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Теорема 4.
Е сли два треугольника имеют по равному углу (общему углу), то их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы.
Д оказательство: Рассмотрим треугольники △B1AC1 и △BAC, имеющие равный (общий) ∠A. Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то:
Следствие: Биссектриса угла треугольника делит его на два треугольника, площади которых относятся как стороны, образующие этот угол.
Доказательство:
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Теорема 5.
О тношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Д оказательство: т.к. треугольники подобны, то все стороны одного треугольника в k раз больше всех сторон другого, а углы между сходственными сторонами равны. Значит,
С ледствие: Все три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, и, как следствие, равных по площади.
Д оказательство: △1,△2,△3∼△ABC с коэффициентом подобия. Следовательно,
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Задачи на метод площадей
Т очки M,N,P лежат на сторонах AB,BC,CA соответственно треугольника ABC, причем AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3. Площадь треугольника MNP равна 15. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение: Т.к. площади треугольников, имеющих общих угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол,
т о
А налогично рассуждая, получаем, что. Следовательно,
Ответ:45.
В нутри равностороннего треугольника со стороной m движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не меняется, и найдите эту сумму.
Решение: Рассмотрим равносторонний △ABC, AB=m, O – точка внутри треугольника, OA1,OB1,OC1 — перпендикуляры на стороны BC,AC,AB соответственно.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Р ассмотрим △AOB, △BOC, △COA. Их площади равны 0,5m⋅OC1; 0,5m⋅OA1; 0,5m⋅OB1 соответственно. Тогда сумма их площадей равна площади всего △ABC, следовательно:
Т аким образом, мы доказали, что для фиксированного равностороннего треугольника сумма постоянна, а также нашли ее.
О твет:
3. Внутри треугольника ABC взяты точки A1,B1,C1 так, что B1 – середина AA1, C1 – середина BB1, A1 – середина CC1. Найдите отношение площадей треугольников A1B1C1 и ABC.
Р ешение: Соединим точки A и C1, B и A1, C и B1. Т.к. медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то Аналогично,
Таким образом, все семь образовавшихся треугольников имеют одинаковые площади. Значит,
Ответ:
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Вывод
Из данного материала мы видим, что существуют такие формулы, которые применяются редко, но от этого не менее важны. Поэтому нужно углубленно заниматься по данной теме, чтобы хорошо чувствовать себя при решении задач повышенного уровня. Важно не только запомнить эти формулы, но и понимать их происхождение, уметь их доказывать, тогда мы точно сможем из применить в любой момент.
«Площадь плоских фигур»
Вольный Иван Алексеевич
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Список литературы/сайтов
1.«Геометрия 7 – 9 класс». Л.С. Атанасян
2. «Геометрия 7 – 9 класс». И. Ф. Шарыгин
Сайт «https://shkolkovo.net/theory/42»
Сайт «Сириус» «https://edu.sirius.online/#/course/91»
10