Поиск лингвистического аспекта в математической науке

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Поиск лингвистического аспекта в математической науке

Заименко Н.В. 1
1Муниципальное общеобразовательное учреждение города Джанкоя Республики Крым «Средняя школа № 1 им. А. А. Драгомировой»
Полякова И.В. 1
1Муниципальное общеобразовательное учреждение города Джанкоя Республики Крым «Средняя школа № 1 им. А. А. Драгомировой»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Не подлежит сомнению, что использование в языкознании математических и логических методов в значительной степени было стимулировано задачами прикладной лингвистики. Если и делались попытки приложения этих методов к решению проблем, непосредственно относящихся к области теоретического языкознания, например для разграничения явлений языка и речи, то в перспективе имелись в виду все же потребности прикладной лингвистики.

Успех использования этих методов в совершенно новой области с общей точки зрения во многом обусловливается ответом на вопрос о том, в какой мере допустимо отождествление логически правильного языка с естественным языком, или, в другой формулировке, возможно ли сведение второго к первому. Ответ на этот вопрос обычно дается в практической форме — посредством построения статистических, теоретико-информационных, теоретико-множественных, теоретико-вероятностных и других моделей языка, не всегда, впрочем, ориентирующихся на конкретные задачи. При построении подобного рода моделей их авторы нередко исходят из того допущения (очевидного с их точки зрения), что любое приложение формально-логического или математического аппарата к лингвистическому описанию и исследованию автоматически способствует их совершенствованию.

В нашей работе мы проанализируем является ли математика языком и найдём метод математической лингвистики, который наиболее подойдёт для его применения в английском языке.

Объектом исследования является процесс поиска лингвистического аспекта в математической науке.

Предметом исследования является лингвистический аспект в математической науке.

В данной работе нами будет затронута тема наличия лингвистического аспекта в математической науке, а также будет определён метод математической лингвистики, который лучше всего подойдёт для применения его в английском языке.

Ежедневно мы сталкиваемся с интернет технологиями. Скорость их развития поражает. Чтобы идти в ногу со временем человеку необходимо быть в курсе всех новшеств в сфере интернет технологий и информатики в частности. В свою очередь информатика включает в себя английский язык и математику, создавая из слияния двух непохожих наук новые языки – языки программирования. Если математика и английский язык «уживаются» в языках программирования, значит математика должна содержать в себе лингвистический аспект. А следовательно можно применять этот аспект в английском языке для упрощения правил грамматики и повышения качества освоения знаний в области английского языка. Именно эти факты и обосновывают выбор данной темы работы, её актуальность и значение для науки.

К глубочайшему сожалению лингвистический аспект математики мало изучен. В этом и состоит научная новизна нашей работы.

Целью данного исследования является определение лингвистического аспекта в математической науке и поиск путей его применения в английском языке.

В соответствии с выбранной темой, объектом и предметом данного исследования, выдвинута следующая гипотеза:

Математика – это язык, методы которого можно применить в английском языке.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- рассмотреть понятие «лингвистический аспект»;

- изучить предмет и разделы лингвистики;

- изучить понятие «язык» и его функции;

- рассмотреть классификации языков;

- ознакомиться с методами изучения и описания языка;

- рассмотреть математические методы изучения языка;

- рассмотреть применение языка математики в литературе и повседневной жизни;

- выявить необходимые методики;

- провести исследование математики как языка на примере сравнительной характеристики математики и английского языка;

- проанализировать полученные результаты;

- выявить метод математической лингвистики оптимально подходящий для применения в преподавании английского языка;

- сделать выводы по проведённому исследованию.

В данной работе нами будет применён метод сравнительного анализа результатов.

Таким образом, актуальность данной темы и необходимость проверить данную гипотезу определили выбор темы данного исследования: «Поиск лингвистического аспекта в математической науке».

Источниками информации для написания этой работы послужили 20 экземпляров учебной литературы и теоретических трудов учёных-психологов и педагогов, которые приведены в разделе «Список литературы».

Данная работа состоит из тезисов, введения, двух разделов, выводов, списка литературы и приложений.

Первый раздел раскрывает определение понятия «лингвистический аспект», описывает разделы лингвистики и её предмет изучения. В этом же разделе рассматривается понятие «язык», его функции и классификация. Здесь же перечисляются общепринятые и математические методы изучения и описания языка, изучение языка методами формальной логики. В конце первого раздела описывается применение языка математики в литературе и повседневной жизни.

Второй раздел посвящён этапам и результатам исследования поиска лингвистического аспекта в математической науке при помощи сравнительной характеристики математики и английского языка по разделам лингвистики. В этом же разделе приводится пример применения приёма «эвфонии», в котором описывается звучность стихотворения с помощью математического языка. Так же предложен метод алгоритмов в качестве наиболее подходящего метода для применения в английском языке.

В разделе «Выводы» приведены краткие выводы о проделанной работе, а в «Списке литературы» перечислены 17 единиц использованных печатных и 4 единицы электронных материалов. В разделе «Приложения» находится таблица сравнительного анализа английского языка и математики, таблица метров и размеров стихотворений, где применялись на практике математические методы, таблица частотности употребления звуков, где применялся статистический метод изучения и предложены 3 схемы алгоритмизации грамматики английского языка.

РАЗДЕЛ 1

Определение понятия «лингвистический аспект»

Как такового понятия «лингвистический аспект» мы не смогли найти ни в одном из известных нам словарей, но по отдельности понятия «лингвистика» и «аспект» в словарях значатся.

Итак, в словаре Ожегова понятие «аспект» трактуется, как точка зрения на что-нибудь.[15] Опираясь на информацию, взятую из Большого Энциклопедического словаря понятие «аспект» происходит (от лат. aspectus вид) точка зрения, с которой рассматривается какое-либо явление, понятие, перспектива.[2]

Что же касается понятия «лингвистика», то согласно словарю Ожегова, это наука о языке, языкознании.[15]

Исходя из полученной информации, можно сделать вывод, что «лингвистический аспект» - это точка зрения на какое-либо понятие с позиции науки о языке.

Соответственно, в нашем исследовании мы будем рассматривать математику с позиции науки о языке.

1.2. Разделы лингвистики и её предмет изучения

Как и многие другие науки, лингвистика в разных её проявлениях обладает достаточно обширным набором классифицирующих признаков, на основе которых и производится её подразделение.
В своём общем первозданном смысле лингвистика бывает:
- теоретическая, или научная (построение теорий);
- практическая (проведение лингвистических экспериментов);
- прикладная (решение лингвистических задач на практике, применение лингвистических теорий).
Теоретическая лингвистика по направленности своей деятельности подразделяется также на нормативную (закрепляет нормы письма и речи) и эмпирическую (ориентирована на описание реальной речи в её проявлениях).
Говоря о языке в целом, можно выделить лингвистику общую и частную. Частная лингвистика – «близкая родственница» ареальной. Она изучает отдельные языки, либо группу этимологически родственных языков, либо группу языков территориально или типологически близких.
Общая же лингвистика - через формирование гипотез, которые выполняются для большинства языков мира, и разработку методов изучения языка приходит к лингвистической типологии. Сюда мы относим такие разделы, как:
- фонетика (изучает звуки, или же, по-другому, воспринимаемую слухом сторону языковых знаков);
- графика (изучает способы их выражения на письме, или же сторону, воспринимаемую зрением);
- семантика (изучает смысловой план языковых знаков, строящийся на основе их лексического значения);
- лексикология (в центре также находится лексическое значение слова, но здесь уже изучаются индивидуальные, частные свойства языковых знаков);
- грамматика (изучает общие правила, которым подчиняется комбинирование, употребление и понимание языковых единиц).
Грамматика на современном этапе включает морфологию (изучает части речи) и синтаксис (изучает установление связей между словами в составе словосочетания, предложения, текста).
Информационное и методологическое поле лингвистики настолько широко, что новые разделы продолжают выделяться и сегодня. 

Следовательно, исходя из выше перечисленного, можно сделать вывод, что лингвистика может быть теоретической или научной, практической, прикладной, частной и общей. В свою очередь теоретическая лингвистика подразделяется на нормативную и эмпирическую, а в общей лингвистике можно выделить такие разделы, как фонетика, графика, семантика, лексикология и грамматика. Грамматика же объединяет в себе морфологию и синтаксис.

Для поиска лингвистического аспекта в математической науке мы воспользуемся разделами лингвистики.

Лингвистика изучает не только существующие (существовавшие или возможные в будущем) языки, но и человеческий язык вообще. Язык не дан лингвисту в прямом наблюдении; непосредственно наблюдаемы лишь факты речи, или языковые явления, то есть речевые акты носителей живого языка вместе с их результатами (текстами) или языковой материал (ограниченное число письменных текстов на мёртвом языке, которым уже никто не пользуется в качестве основного средства общения).

Следовательно, предметом лингвистики является язык.

В нашем исследовании мы рассмотрим язык математики.

Понятие «язык» и его функции

Рассмотрим само понятие «язык». Опираясь на трактовку данного понятия в толковом словаре Ожегова, язык – это исторически сложившаяся система звуковых, словарных и грамматических средств, объективирующая работу мышления и являющаяся орудием общения, обмена мыслями и взаимного понимания людей в обществе.[15]

В Большом Энциклопедическом словаре можно найти такую трактовку: язык – это естественный язык, важнейшее средство человеческого общения, который неразрывно связан с мышлением и является социальным средством хранения и передачи информации.[2]

Таким образом, можно сделать вывод, что язык – это система звуковых, словарных и грамматических средств, необходимая для хранения и передачи информации и неразрывно связанная с мышлением.

Каждый из языков, если он достаточно развит, имеет две основные функциональные разновидности: литературный язык и живую разговорную речь. Живой разговорной речью каждый человек овладевает с раннего детства. Освоение литературного языка происходит на всем протяжении развития человека, вплоть до старости. Литературный язык должен быть общепонятным, т. е. доступным к восприятию всеми членами общества. Литературный язык должен быть развит до такой степени, чтобы иметь возможность обслуживать основные сферы деятельности людей. В речи важно соблюдать грамматические, лексические, орфоэпические и акцентологические нормы языка. Исходя из этого, важной задачей лингвистов является рассмотрение всего нового в литературном языке с точки зрения соответствия общим закономерностям развития языка и оптимальным условиям его функционирования.[3, c.27]

Итак, двумя основными функциональными разновидностями языка является литературный язык и живая разговорная речь.

Исходя из выше сказанного, язык математики ближе к литературному языку, так как он является общепринятым, доступным к восприятию обществом и обслуживает основные сферы деятельности человека.

Рассмотрим функции языка. Слово "функция" в данном случае употребляется в смысле "назначение", "роль" или "работа, производимая объектом". Язык — многофункциональное явление. Все функции языка проявляются в коммуникации.

Тремя основными функциями языка являются:

коммуникативная (или функция общения) — использование языка для передачи информации;

когнитивная (или гносеологическая функция) — накопление и сохранение информации, её передача;

аккумулятивная (накопительная функция) — функция накопления и сохранения знания;

Р. О. Якобсон с точки зрения теории коммуникативного акта выделяет следующие 7 функций:

референтная функция (связана с созданием и передачей информации, т.е. по сути объединяет когнитивную и коммуникативную функции языка);

регулятивная функция языка (связана с регуляцией поведения адресата);

эмотивная функция (связана с выражением эмоций; эмоции чаще всего выражаются посредством интонации);

контактоустанавливающая функция (Фатическая функция) (связана с установлением и поддержанием контакта. Данная функция сохраняет контакт между собеседниками; имеет цель поддерживать канал связи. Таким образом, эта функция имеет своё воплощение в речи в виде различного рода клише);

метаязыковая функция (Металингвистическая функция) есть анализ и истолкование языкового; (связана с пояснением непонятных слов или выражений при помощи самого языка);

эстетическая функция речи (поэтическая) (связана с вниманием к сообщению ради самого сообщения);

номинативная функция (название предметов).

Андре Мартине выделил три функции языка:

коммуникативная (или функция общения) (использование языка для достижения взаимопонимания);

мыслеформулирующая (функция, являющаяся основанием мысли);

экспрессивная функция (связана с выражением отношения к высказанному).

Следовательно, можем сказать, что общепринятыми являются 3 основные функции: коммуникативная, когнитивная и аккумулятивная. По мнению Якобсона Р.О. функций у языка больше и приводит такую классификацию функций: референтная, регулятивная, эмотивная, контактоустанавливающая, метаязыковая, эстетическая и номинативная. В свою очередь Андре Мартине выделяет коммуникативную, мыслеформулирующую и экспрессивную функции языка. У всех этих классификаций есть общее – язык должен служить для выражения мысли человека и передавать информацию для достижения взаимопонимания.

Для нашего исследования лучше подходит общепринятая классификация функций языка, а именно рассмотрим наличие выполнения языком математики коммуникативной, когнитивной и аккумулятивной функций.

Классификация языков

  Классификацией языков является изучение и группировка языков мира по различным признакам, например,  генетическая классификация языков (генеалогическая) - по признаку родстватеобщего происхождения из предполагаемого языка - основы (индоевропейскаятюркскаяуральская семьи

 и др.); типологическая классификация языков - на основе сходства чертязыковойструктуры (морфологическаяфонологическаясинтаксическая

семантическая), независимо от генетической или территориальной близостиС этой точки зрения выделяются: изолирующий (аморфныйтип (древнекитай-

скийвьетнамскиййоруба), агглютинирующий(агглютинативныйтип (тюркскиймногие финноугорские языки), флектирующий (флективныйтип (русский язык). Некоторые ученые выделяют инкорпорирующие (полисинтетиче

скиеязыки (некоторые палеоазиатскиекавказские языки). [2]

Исторически становление языка происходило в различных формах. Различные языки создавали разнообразные группы. Культурологические особенности различных структурных компонентов языка сохранились и в настоящее время.

Все языки по их происхождению принято делить на 2 большие группы:

- естественные языки (развивающиеся и эволюционирующие языки, на которых разговаривают люди);

- искусственные языки (создаются синтетическим образом для передачи какой-либо специфической информации).

Рассмотрим данные группы языков более подробно. Естественные языки возникли в условиях становления человека в различных естественно-географических и социально-исторических условиях. Являясь одним из основных этнических признаков (общая территория проживания, язык, культура, менталитет), естественный язык стал средством интеграции людей на первых этапах становления человеческого общества. С усложнением социальной жизни и расселением людей по обширным территориям земного шара возникли языковые различия, которые привели к формированию множества национальных языков. В настоящее время на земном шаре насчитывается около 5000 языков, на которых говорят жители немногим более 200 стран.

Искусственные языки – это особые формализованные языки, сконструированные по определённому плану для определённых целей. К искусственным языкам относятся эсперанто, языки программирования, стенография, нотная грамота, азбука Морзе, шифровальные системы, жаргон и прочие.

Итак, подытожим вышесказанное, если язык создан людьми, значит, он искусственный; если он зародился и развивался самостоятельно, а люди это развитие лишь зафиксировали и оформили в письменность, значит, естественный. [18]

Что касается нашего исследования, то язык математики нельзя классифицировать, используя генетическую или типологическую классификацию. В нашем исследовании мы воспользуемся классификацией языков по их историческому происхождению.

Разработка искусственного языка символов и формул была величайшим достижением науки, в значительной мере определившим дальнейшее развитие математики. В настоящее время стано­вится очевидным, что математика — это не толь­ко совокупность фактов и методов, но и язык для описания фактов и методов самых разных облас­тей науки и практической деятельности.

Математический язык в отличие от естест­венного является символическим, хотя и естест­венный язык тоже пользуется определенными символами — буквами и знаками препинания. В использовании символов в математическом и естественном языках имеются существенные различия. В математическом языке один знак обозначает то, что в естественном языке обозначается словом. Этим достигается значительное сокра­щение "длины" языковых выражений.

Следовательно, язык математики - это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания). Таким образом, математический язык — это совокупность всех средств, с помощью которых можно выразить математическое содержание. К таким средствам относятся логико-математи­ческие символы, графические схемы, геометри­ческие чертежи, система научных терминов вместе с элементами естественного (обычного) языка.

Методы изучения и описания языка

Метод (от греч. Methodos) – это путь исследования. 

Метод в лингвистике – это обобщение совокупности теоретических установок, приёмов, методик исследования языка, связанные с определённой лингвистической теорией. Это отдельные приёмы, методики, операции, опирающиеся на определенные теоретические установки такие как: техническое средство, инструмент для исследования того или иного аспекта языка.

Выделяют такие основные методы исследования и описания языка:

- сравнительно - исторический метод;

- структурный метод (структурализм);

- конструктивизм.

Рассмотрим данные методы изучения языка подробнее.

1.Сравнительно - исторический метод

Основные ученые: Расмус Раск, Франц Бопп, Якоб Гримм, Александр Христофорович Востоков.

Сравнительно-исторический метод позволяет выявлять с помощью сравнения общее и особенное в исторических явлениях, ступени и тенденции их развития. Этот метод в языкознании применяется для установления родства языков и изучения развития родственных языков. Этот метод основан на сравнении языков и направлен на выяснение их исторического прошлого. Сравнительно-исторический метод опирается на законы фонетических изменений, на закономерности и тенденции изменения морфологического, словообразовательного, синтаксического и лексического уровней языка. Используя этот метод, ученые сравнивают между собой генетически тождественные слова и формы родственных языков и восстанавливают (разумеется, предположительно), их первоначальный вид, их архетипы, или праформы. В итоге получается приблизительная реконструкция отдельных сторон языкового строя, каким он был до обособления соответствующих языков или ветвей языков.

Основные положения:

1. Каждый язык неповторим, его особенности раскрываются в сравнении с другими языками.

2. Языки группируются в языковые группы, а затем в языковые семьи.

3. Различия в родственных языках объясняются их непрерывным развитием.

4. Быстрее всего в языке изменяются звуки.

Преимущества:

- позволяет реконструировать фонетический и морфемный состав языка;
- даёт возможность обнаружить и восстановить первоначальное единство родственных языков, выявить специфические внутренние законы их последующего развития;
- позволяет возвести существующие между родственными языками различия к единому источнику, но нельзя выявить те различия между родственными языками, которые существовали в прошлом, а позже были утрачены. 
Недостатки:

Нельзя представить язык как систему. Данный метод не может объяснить сходство языков и оказывается малоэффективным при изучении так называемых изолированных языков (китайский, японский etc.), то есть таких, которые не имеют родственных языков. Этот метод оказывается бессильным при изучении таких изменений, которые возникли в результате сближения и интеграции языков.

2.Структурный метод (структурализм).

Сформировался в 20 веке.

Основные ученые: Фердинанд де Соссюр, Бодуэн де Куртенэ.

Основные положения структурных методов: 

1) подлинной реальностью признаётся не отдельный факт (морфема, звук, предложение и т. п.) какого-либо языка, а язык как система;

2) структуру системы создают вневременные отношения, отношения доминируют над элементами, структура доминирует над историей системы; основными являются отношения оппозиции элементов вне текста; 

3) возможно вневременное и не субстанциальное — «алгебра­и­че­ское» — изучение системы; возможно применение математических методов в языкознании; 

4) подобно языку органи­зо­ва­ны некоторые другие системы — фольклор, обычаи и ритуалы, отношения родства и др.; их изучение и изучение языка, лингвистика, интегрируются в более общую науку — семиотику. 

Делится на 3 школы: пражская, копенгагенская и американская.

Восточно­евро­пей­ский структурализм (Пражская лингвистическая школа) ввёл понятие оппозиции и, основанный на ней метод, прежде всего в фонологию, а от неё в другие сферы языка — главным образом в морфологию и семантику.

Датский структурализм (Копенга­ген­ский лингвистический кружок) разработал учение об алгебраических отноше­ни­ях в языке, глоссематику.

Американский структурализм (Дескриптивная лингвистика) разра­бо­тал понятие дистрибуции и основал на нём метод описания фонологии, морфологии и элементарного анализа предложения (Непосред­ствен­но составляющих метод).

Недостаток:

Данный метод является абстрактным.

3.Конструктивизм.

Возник в начале 60‑х гг. 20 в. 

Одним из основных понятий конструктивного метода стал алгоритм. Первоначальные идеи этого рода были выдвинуты уже Платоном и Панини и в той или иной степени повторялись впоследствии (Аристотель, Спиноза, Потебня и др.); непосредственную же основу для новых лингвистических идей дали работы У. Куайна и Н. Гудмена. В этой связи как частная разновидность конструктивизма в лингвистике возникли теории порождающих (генеративных) грамматик.

Основ­ные положения: 

1) требование конструктивности: объект может быть принят как объект теории, только если он может быть построен или смоделирован исследователем; 

2) исходным объектом является предложение (в виде его теоре­ти­че­ской модели), поэтому конструктивными методами исследуется главным образом синтаксис предложения и те явления семантики и словаря, которые наиболее непосредственно связаны с предложением (например, система тезауруса, идеография). Другие сферы языка, например фонологическая, рассматриваются по аналогии с последним. В предложении обнару­жи­ва­ют­ся динамические черты языка — явления реального производства («порождения») выска­зы­ва­ния в речи; 

3) динамические законы построения предложения-высказывания признаются универсальными, в то время как национальные, исторически изменчивые особенности того или иного языка рассматриваются как форма реализации этих универсальных законо­мер­но­стей, например морфология как «техника» семантики и синтаксиса; 

4) язык понима­ет­ся как динамическая система, обеспечивающая порождение речевых произведений.

Следовательно, можно сделать вывод, что в изучении языка применяют сравнительно - исторический метод, структурный метод (структурализм) и метод конструктивизма. Структурный метод содержит «алгебраическое» изучение системы языка, а метод конструктивизма основан на алгоритмизации. Оба этих метода основываются на языке математики, что подтверждает тот факт, что математика может быть применена в изучении лингвистики и языков в частности.

1.6. Математические методы изучения языка.

 Математические методы изучения языка получили развитие в середине наше­го века и были стимулированы перспективами машинного пе­ревода с помощью электронно-вычислительных машин, ко­торые тогда стали входить в широкое употребление.

В процессе обработки текстов для их ввода в машину были получены разнообразные количественные оценки от­дельных сторон языка, которые оказались важными и полез­ными не только для практического использования при состав­лении математических моделей языка, но и для лингвистической теории. Среди математических методов наиболее ин­формативными для лингвистов оказались методы:

- математи­ческой статистики (статистическими методами пользуются при изучении рас­пределения языковых средств по функциональным стилям, при определении индивидуальных стилистических особеннос­тей писателей и в некоторых других случаях);

- теории информации (математический аппарат теории информации используется для улучшения передачи информации по техническим системам связи. Предметом мате­матической обработки с помощью теории информации слу­жат последовательности букв в письменных текстах. Теория информации позволяет уменьшить количество передаваемых букв без ущерба для понимания смысла);

- математической логики (в ней разработан символический язык, которым изображают­ся высказывания и логические отношения между ними, изо­бражаются понятия, классы понятий и логические отношения между ними).

Математические методы в основном пригодны для изу­чения количественных характеристик языка. Указанными тре­мя группами методов арсенал математического изучения язы­ка не исчерпывается, но другие методы служат главным об­разом для машинной обработки языка. [19]

С неколичественными методами математики, в частности, с логикой, современная теоретическая лингвистика взаимодействует не менее плодотворно, чем с количественными. Быстрое развитие компьютерных технологий и возрастание их роли в современном мире потребовало пересмотра подхода к взаимодействию языка и логики в целом.

Одно из основных понятий современной логики и теоретической лингвистики, используемое при исследовании языков различных логико-математических исчислений, естественных языков, для описания отношений между языками различных «уровней» и для характеристики отношений между рассматриваемыми языками и описываемыми с их помощью предметными областями – понятие метаязыка.

Метаязык – это язык, используемый для выражения суждений о другом языке, языке-объекте. С помощью метаязыка изучают структуру знакосочетаний (выражений) языка-объекта, доказывают теоремы о его выразительных свойствах, об отношении его к другим языкам и т. п. Изучаемый язык называется также предметным языком по отношению к данному метаязыку. Как предметный язык, так и метаязык могут быть обычными (естественными) языками. Метаязык может отличаться от языка-объекта (например, в учебнике английского языка для русских русский язык является метаязыком, а английский – языком-объектом), но может и совпадать с ним или отличаться лишь частично, например специальной терминологией (английская лингвистическая терминология – элемент метаязыка для описания английского языка; т. н. семантические множители – часть метаязыка описания семантики естественных языков).

Итак, исходя из выше сказанного, логика учит нас плодотворному разграничению языка-объекта и метаязыка. Язык-объект - это сам предмет логического исследования, а метаязык - тот неизбежно искусственный язык, на котором такое исследование ведется. Логическое мышление как раз и состоит в том, чтобы сформулировать на языке символов (метаязыке) отношения и структуру реального языка (языка-объекта).

В нашем исследовании лингвистического аспекта мы применим английский язык в качестве метаязыка, а язык математики - в качестве языка-объекта и сравним их по разделам лингвистики.

1.7.Применение языка математики в литературе и повседневной жизни

Математический язык в литературе.

В литературе есть приём «эвфония», где с помощью математического языка описывается звучность стихотворения. Эвфония (от греч. euphónia — благозвучие) - инструментовка, звуковая организация художественной речи 

(преимущественно стихотворной), основанная на повторяемости звуков; то же,

 что и «фоника». В узком смысле под эвфонией иногда понимают артикуляции-

онное и акустическое благозвучие речи.

Так как язык математики универсален, то не зря существует выражение «поверил алгеброй гармонию». Рассмотрим верность данного суждения на примере метров и размеров стиха. Метр и размер стиха зависят от порядка ударных слогов. Соответственно, при порядке ударных слогов в соотношении 1-ый,4-ый,7-ой,10-ый… стихотворный размер будет иметь название «дактиль», а при соотношении ударных слогов 2-ой,4-ый,6-ой,8-ой,10-ый… стихотворный размер имеет название «ямб».

Итак, при помощи математического языка можно изучить закономерности в стихотворениях.

В повседневной жизни

Сами не замечая того мы постоянно оперируем математическими терминами: числа, понятия (площадь, объём), отношение. Мы постоянно читаем на математическом языке и говорим: определяя пробег автомобиля, сообщая цену товара, время; описывая размеры комнаты и т. д.

В молодёжной среде сейчас появилось выражение «мне параллельно», что означает «мне всё равно, меня это не касается», а ассоциируется это с параллельными прямыми, наверно потому, что они не пересекаются, так и эта проблема «не пересекается» со мной, то есть не касается меня. В противовес, следует ответ: «Так я сделаю, чтобы тебе было перпендикулярно». И опять: перпендикуляр пересекается с прямой, т. е. имеется ввиду, что эта проблема будет касаться тебя – пересечётся с тобой.

Таким образом, язык математики проник в молодёжный сленг.

Язык математики универсален

Если вы увидите фразу «два умножить на три равно шесть», написанную на разных языках: Deux fois trios font six (французский), Two multiply three equals six (английский), Zwei mal drei ist secks (немецкий), вы не пойметё, о чём идёт речь, но стоит её написать на языке математики: 2∙3=6 - и сразу всем станет ясно.

Следовательно, язык математики универсален и применяем как в литературной речи, а именно в стихотворениях, так и в живой разговорной речи.

Выводы по первому разделу:

«Лингвистический аспект» - это точка зрения на какое-либо понятие с позиции науки о языке.

В нашем исследовании мы будем рассматривать математику с позиции науки о языке.

Лингвистика может быть теоретической или научной, практической, прикладной, частной и общей. В свою очередь теоретическая лингвистика подразделяется на нормативную и эмпирическую, а в общей лингвистике можно выделить такие разделы, как фонетика, графика, семантика, лексикология и грамматика. Грамматика же объединяет в себе морфологию и синтаксис.

Для поиска лингвистического аспекта в математической науке мы воспользуемся разделами лингвистики.

Предметом лингвистики является язык.

В нашем исследовании мы рассмотрим язык математики.

Язык – это система звуковых, словарных и грамматических средств, необходимая для хранения и передачи информации и неразрывно связанная с мышлением.

Двумя основными функциональными разновидностями языка является литературный язык и живая разговорная речь.

Язык математики ближе к литературному языку, так как он является общепринятым, доступным к восприятию обществом и обслуживает основные сферы деятельности человека.

Общепринятыми являются 3 основные функции: коммуникативная, когнитивная и аккумулятивная. По мнению Якобсона Р.О. функций у языка больше и приводит такую классификацию функций: референтная, регулятивная, эмотивная, контактоустанавливающая, метаязыковая, эстетическая и номинативная. В свою очередь Андре Мартине выделяет коммуникативную, мыслеформулирующую и экспрессивную функции языка. У всех этих классификаций есть общее – язык должен служить для выражения мысли человека и передавать информацию для достижения взаимопонимания.

Для нашего исследования лучше подходит общепринятая классификация функций языка, а именно в практической части данной работы рассмотрим наличие выполнения языком математики коммуникативной, когнитивной и аккумулятивной функций.

Итак, если язык создан людьми, значит, он искусственный; если он зародился и развивался самостоятельно, а люди это развитие лишь зафиксировали и оформили в письменность, значит, естественный.

Что касается нашего исследования, то язык математики нельзя классифицировать, используя генетическую или типологическую классификацию. В нашем исследовании мы воспользуемся классификацией языков по их историческому происхождению.

Следовательно, язык математики - это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания). Таким образом, математический язык — это совокупность всех средств, с помощью которых можно выразить математическое содержание. К таким средствам относятся логико-математи­ческие символы, графические схемы, геометри­ческие чертежи, система научных терминов вместе с элементами естественного (обычного) языка.

В изучении языка применяют сравнительно - исторический метод, структурный метод (структурализм) и метод конструктивизма. Структурный метод содержит «алгебраическое» изучение системы языка, а метод конструктивизма основан на алгоритмизации. Оба этих метода основываются на языке математики, что подтверждает тот факт, что математика может быть применена в изучении лингвистики и языков в частности.

Среди математических методов наиболее ин­формативными для лингвистов оказались методы: математи­ческой статистики, теории информации и математической логики.

Математические методы в основном пригодны для изу­чения количественных характеристик языка. Указанными тре­мя группами методов арсенал математического изучения язы­ка не исчерпывается, но другие методы служат главным об­разом для машинной обработки языка.

Логика учит нас плодотворному разграничению языка-объекта и метаязыка. Язык-объект - это сам предмет логического исследования, а метаязык - тот неизбежно искусственный язык, на котором такое исследование ведется. Логическое мышление как раз и состоит в том, чтобы сформулировать на языке символов (метаязыке) отношения и структуру реального языка (языка-объекта).

В нашем исследовании лингвистического аспекта мы применим английский язык в качестве метаязыка, а язык математики - в качестве языка-объекта и сравним их по разделам лингвистики.

При помощи математического языка можно изучить закономерности в стихотворениях.

Язык математики универсален и применяем как в литературной речи, а именно в стихотворениях, так и в живой разговорной речи.

РАЗДЕЛ 2

2.1. Подготовительный этап исследования

В ходе подготовительного этапа исследования были прочитаны 17 экземпляров научных трудов и 4 единицы интернет-ресурсов. Была собрана вся необходимая информация по вопросу лингвистики, её разделов, проанализированы методы изучения и описания языков как общепринятые, так и математические в частности.

Для практической части исследования было принято решение использовать сравнительную характеристику английского языка и языка математики, где английский язык выступил в роли метаязыка, а язык математики – в роли языка-объекта. Сравнение происходило по типу исторического происхождения, по разделам лингвистики и по выполняемым функциям. На примере данной сравнительной характеристики будет частично доказана наша гипотеза относительно наличия лингвистического аспекта в математической науке.

Что же касается второй части гипотезы, то применяемые математические методы в лингвистике было решено рассмотреть на примере стихотворных размеров. Для исследования было решено применить структурный метод и метод математической статистики.

Так же, на примере метода конструктивизма, который имеет свой аналог в математике – метод математической логики, и использует алгоритмизацию, решено было наглядно проиллюстрировать упрощение правил грамматики английского языка.

2.2. Проведение исследования

Исследование проводилось после уроков в течение первой четверти в

библиотеке МОУ «Средняя школа №1 им. А.А. Драгомировой».

Целью исследования было доказать, что математика – это язык, используя английский язык в качестве метаязыка, и найти практическое применение математическим методам в английском языке.

Изучив теоретическую литературу по данной теме, нами была составлена сравнительная характеристика английского языка и языка математики, которая подтвердила первую часть нашей гипотезы о том, что математика – это язык. Все полученные результаты мы отобразили в Таблице 2.1.

Далее необходимо было доказать вторую часть гипотезы о применении математических методов в английском языке. Для подтверждения данного факта мы проанализировали информацию из теоретических источников, выявили методы, которые будут необходимы в ходе исследования, а именно: для работы со стихотворениями мы применили структурный метод и метод математической статистики.

Структурный метод наглядно изображён в Таблице 2.2. На примере теоретической информации о стихотворных размерах мы выявили математическую зависимость ударных слогов к безударным слогам. Затем мы проанализировали полученную информацию с математической точки зрения и определили математическую модель каждого стихотворного размера.

Следующим шагом в нашем исследовании было использование метода математической статистики. Данный метод наглядно изображён в Таблице 2.3. Этот метод отображает частотность. В нашем исследовании мы проанализировали частоту употребления гласных и согласных, а именно звонких, глухих и сонорных звуков в 2 стихотворных отрывках разного размера и разных авторов. Стихотворения были выбраны случайным образом.

1) Стихотворение Дж. Г. Байрона (отрывок) – размер ямб - 2,4,6,8,10…

She walks in beauty, like the night

Of cloudless climes and starry skies;

And all that's best of dark and bright

Meet in her aspect and her eyes:

Thus mellowed to that tender light

Which heaven to gaudy day denies. [20]

2) Стихотворение Роберта Ли Фроста (отрывок) – размер дактиль - 1,4,7,10…

Two roads diverged in a yellow wood,
And sorry I could not travel both
And be one traveler, long I stood
And looked down one as far as I could
To where it bent in the undergrowth. [21]

Мы подсчитали общее количество звуков в отрывках, затем отдельно посчитали гласные звуки, сонорные звуки, звонкие и глухие звуки (см. табл. 2.3). Так как метод математической статистики отображает частотность употребления звуков отдельной группы, то количество было переведено нами в процентное соотношение. Таким образом, при помощи статистических соотношений был отображён метод математической статистики (см. табл.2.3).

В завершении исследования нами был применён метод конструктивизма, который в математике является методом математической логики и выражается в символическом изображении связей и взаимоотношений между компонентами. Решено было применить алгоритмизацию в качестве наглядного примера данного метода изучения и описания языка. Данный математический метод позволит упростить грамматические правила и сделает обучение иностранному языку более продуктивным.

Случайным образом были выбраны три грамматических правила английского языка. По ним нами были разработаны 3 алгоритма: на применение причастий 1 и 2, на применение -ing форм в английском языке и на определение инфинитива и герундия (Схема 2.1, Схема 2.2 и Схема 2.3 соответственно). Эти схемы метода математической логики применительно к грамматике английского языка упрощают понимание и позволяют более продуктивно усвоить сложную информацию из грамматики английского языка.

2.3. Анализ полученных результатов

В ходе сравнительной характеристики английского языка как метаязыка и языка математики как языка-объекта было выявлено, что по своему историческому происхождению язык математики является искусственным языком, а именно специально созданным людьми для выражения вычислений (см. табл.2.1).

Что касается разделов лингвистики, то язык математики имеет фонетику и графику, присущую латинскому и древнегреческому алфавитам. Семантика так же присуща языку математики, а именно в языке математики есть большое количество символов – «математических знаков», имеющих своё собственное предназначение, которые другие знаки математического языка не могут выполнять. Лексика в языке математики особая, характерная только для применения в данной науке. Что касается грамматики, то в языке математики есть как морфология, так и синтаксис. Морфология выражается в названиях величин «множитель», «слагаемое» и т. д., а синтаксис, в свою очередь выражается во взаимосвязях между данными величинами (см. табл.2.1).

Третьим критерием сравнительной характеристики были функции, которые выполняет язык. В ходе исследования было выявлено, что язык математики выполняет все 3 функции языка, а именно используется для передачи информации, данные хранятся и передаются в различных справочниках по математике и с годами знания накапливаются и хранятся (см. табл.2.1).

Наличие данных по всем выше перечисленным критериям позволяют сделать вывод, что математика – это язык. Следовательно, первая часть нашей гипотезы о наличии лингвистического аспекта в математической науке подтвердилась: математической науке присущ лингвистический аспект.

Касательно второй части нашей гипотезы о применении математических методов в английском языке можно сделать следующие выводы, что соотношение ударных слогов к безударным в различных стихотворных размерах имеет математическую зависимость, а именно стихотворные размеры дактиль, анапест и амфибрахий через каждые три безударных слога имеют один ударный слог, а стихотворные размеры ямб и хорей имеют один ударный слог через каждые 2 безударных слога. Эта информация хорошо всем известна. Наше же наблюдение кроется в том, что все соотношения ударных слогов к безударным сопоставимы с арифметической прогрессией в математике (см. табл.2.2).

Следовательно, структурный метод выявил наличие арифметической прогрессии во всех стихотворных размерах.

Относительно применения метода математической статистики, можно сделать вывод, что чаще всего употребляются гласные звуки (см. табл.2.3). Но цель применения данного метода заключалась в наглядности соотношения применяемых в стихотворных отрывках звуков относительно друг друга: что чаще применяется, что реже, а что в равных долях.

Подводя итог работы со стихотворными отрывками, можно сказать, что в лингвистике хорошо применяем метод математической статистики и метод конструктивизма. Эти методы позволяют наглядно увидеть соотношения и связи между лингвистическими единицами в языке и в литературе в частности.

И последним нашим методом, применяемым к английскому языку, был метод математической логики. Мы структурировали несколько правил английской грамматики и преобразовали их в алгоритм. Это позволило упростить понимание сложных грамматических правил английского языка и сделать их более наглядными и понятными.

Таким образом, в описании и изучении языка лучше всего использовать структурный метод и метод математической статистики, а для выражения сложных связей и зависимостей в грамматике лучше применить метод математической логики.

Итак, вторая часть нашей гипотезы о применении математических методов в английском языке также подтвердилась. Математические методы успешно структурируют и упрощают понимание закономерностей и взаимосвязей в языке. Гипотеза верна.

Выводы по второму разделу:

Для практической части исследования использовали сравнительную характеристику английского языка и языка математики, где английский язык выступил в роли метаязыка, а язык математики – в роли языка-объекта. Сравнение происходило по типу исторического происхождения, по разделам лингвистики и по выполняемым функциям.

Применяемые математические методы в лингвистике было решено рассмотреть на примере стихотворных размеров. Для исследования применили структурный метод и метод математической статистики.

Так же, на примере метода конструктивизма, который имеет свой аналог в математике – метод математической логики, и использует алгоритмизацию, было наглядно проиллюстрировано упрощение правил грамматики английского языка.

В ходе сравнительной характеристики было выявлено наличие данных по всем перечисленным критериям, которое позволяет сделать вывод, что математика – это язык. Следовательно, первая часть нашей гипотезы о наличии лингвистического аспекта в математической науке подтвердилась: математической науке присущ лингвистический аспект.

Касательно второй части нашей гипотезы о применении математических методов в английском языке можно сделать следующие выводы, что соотношение ударных слогов к безударным в различных стихотворных размерах имеет математическую зависимость, а наше же наблюдение кроется в том, что все соотношения ударных слогов к безударным сопоставимы с арифметической прогрессией в математике. То есть структурный метод выявил наличие арифметической прогрессии во всех стихотворных размерах.

Подводя итог работы со стихотворными отрывками, можно сказать, что в лингвистике хорошо применяем метод математической статистики и метод конструктивизма. Эти методы позволяют наглядно увидеть соотношения и связи между лингвистическими единицами в языке и в литературе в частности.

Таким образом, в описании и изучении языка лучше всего использовать структурный метод и метод математической статистики, а для выражения сложных связей и зависимостей в грамматике лучше применить метод математической логики.

Итак, вторая часть нашей гипотезы о применении математических методов в английском языке также подтвердилась. Математические методы успешно структурируют и упрощают понимание закономерностей и взаимосвязей в языке. Гипотеза верна.

ВЫВОДЫ

Вопрос межпредметных связей всегда был и остается серьезной педагогической проблемой. Обычно она обсуждается на материале родственных дисциплин (математика – физика, химия – биология, язык – литература и т.д.). Актуальность этих направлений очевидна, но этим она не исчерпывается.

Междисциплинарные линии должны устранить полярную разобщенность филологического и математического образования. Глубокие различия, существующие между языкознанием и математикой, отнюдь не исключают наличия у данных наук точек соприкосновения.

Представляется интересным рассмотреть процесс изучения математики под углом зрения психологических особенностей, характеризующих мыслительную деятельность в процессе усвоения иностранного языка и выявления общих трудностей.

В ходе нашего исследования были рассмотрены понятия «лингвистический аспект» и «язык». Также мы рассмотрели предмет и разделы лингвистики, методы математической лингвистики и функции языка. Опираясь на сравнительную характеристику английского языка как метаязыка и языка математики как языка-объекта, мы доказали, что в математической науке имеется лингвистический аспект. Следовательно, гипотеза частично верна.

Подводя итог работы со стихотворными отрывками, можно сказать, что в лингвистике хорошо применяем метод математической статистики и метод конструктивизма. Эти методы позволяют наглядно увидеть соотношения и связи между лингвистическими единицами в языке и в литературе в частности.

Таким образом, в описании и изучении языка лучше всего использовать структурный метод и метод математической статистики, а для выражения сложных связей и зависимостей в грамматике лучше применить метод математической логики.

Итак, вторая часть нашей гипотезы о применении математических методов в английском языке также подтвердилась. Математические методы успешно структурируют и упрощают понимание закономерностей и взаимосвязей в языке. Гипотеза верна.

В целом проведённое исследование можно считать успешным. В дальнейшем хотелось бы продолжить данное исследование.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бодуэн де Куртенэ И. А. Избранные труды по общему языкознанию. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 384 с. (т. 1), 392 с. (т. 2).

Большой энциклопедический словарь. 2-е издание.- М.: изд-во Большая Российская Энциклопедия, 1997.

Бюлер К. Теория языка. — М.: Прогресс, 1993. — 502 c.

А. В. Гладкий. О точных методах в гуманитарных науках.//Знание – сила,1995.

Гладкий А. В., Мельчук И. А., Элементы математической лингвистики, М, 1969

Гумбольдт В. Избранные труды по языкознанию. — М.: Прогресс, 1984. — 397 с.

Ефремова Т.Ф. Новый словарь русского языка. Толково-словообразовательный. – М.: Русский язык, 2000.

Звегинцев В. А. Очерки по общему языкознанию. М.: Изд. МГУ, 1962.

Звегинцев В. А. Теоретическая и прикладная лингвистика. М.: Просвещение, 1968.

Звегинцев В. А. Язык и лингвистическая теория. М.: Изд. МГУ, 1973.

Звегинцев В. А. Мысли о лингвистике. М.: Изд. МГУ, 1996.

В. Звегинцев, Применение в лингвистике логико-математических методов.//Новое в лингвистике, 1999. №4

Кацнельсон С. Д. Общее и типологическое языкознание. — М.: Наука, 1986. — 298 с.

Крушевский Н. С. Очерк науки о языке (1883) // Крушевский Н. В. Избранные работы по языкознанию. — М.: Наследие, 1998. — Сс. 96—222.

Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка, 2-е изд. – М., 1995.

Соссюр Ф. Труды по языкознанию. — М.: Прогресс, 1977. — 695 c.

Шапир М.И. «Тебе числа и меры нет». О возможностях и границах «точных методов» в гуманитарных науках. // Вопросы языкознания, 2005. № 1.

Интернет-ресурсы:

18. http://www.zavtrasessiya.com/index.pl?act=PRODUCT&id=1022

19. https://refdb.ru/look/2603742.html

20.https://akyla.net/stihi-na-angliyskom/george-gordon-byron/304-george-gordon-byron/2864-she-walks-in-beauty-like-the-night-ona-idjot-prekrasnaya-kak-noch

21. http://engblog.ru/most-popular-poems

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица 2.1

Сравнительная характеристика английского языка и языка математики

Критерии, по которым проводилось сравнение для определения лингвистического аспекта

Английский язык

Язык математики

1) по историческому происхождению

Естественный, так как зародился и развивается самостоятельно, а людьми был зафиксирован и оформлен в письменности.

Искусственный, так как был искусственно (специально) создан людьми для передачи вычислений и расчётов, используемых в повседневной жизни.

2) по разделам лингвистики:

а) фонетика

б) графика

в) семантика

г) лексика

д) грамматика:

- морфология

- синтаксис

а) имеет свою систему звуков с присущими только данному языку звуками, например: [ θ , ð ] ;

так же содержит дифтонги, например:

[];

имеются звуки-аффрикаты, например:[ tʃ , dʒ ]. ;

б) использует буквы латинского алфавита,

а) система звуков сходна с названиями звуков в латинском и древнегреческом алфавитах, например: x (икс), y (игрик);

б) содержит символы из разных алфавитов, преимущественно из латинского и древнегреческого

Продолжение. табл. 2.1

Критерии, по которым проводилось сравнение для определения лингвистического аспекта

Английский язык

Язык математики

2) по разделам лингвистики:

а) фонетика

б) графика

в) семантика

г) лексика

д) грамматика:

- морфология

- синтаксис

например: ;

в) содержит знак апостроф «’», который применяется в записи притяжательного падежа, например: Bobs, Toms, Anns;

г) есть фразовые глаголы, которые переводятся по-разному, в зависимости от послелога, который с ними употребляется, например: put on (надевать), take off (снимать), give up (сдаваться) ;

есть множество идиом, значение которых необходимо заучивать, например: it rains cat and dogs (льёт как из ведра), to cry over spilt milk (плакать над пролитым молоком);

д) есть различные части

алфавитов, например: ;

в) используются различные знаки, каждый из которых имеет своё применение в языке математики, например: = (знак равенства), : (знак деления одного числа на другое), < (знак ставится, если одно число меньше другого);

г) имеется своя лексика, например: cos (косинус), tg (тангенс);

д) имеет свою морфологию, например: (dy - делимое, а dx -

Продолжение. табл. 2.1

Критерии, по которым проводилось сравнение для определения лингвистического аспекта

Английский язык

Язык математики

 

речи, например: noun (существительное), verb (глагол), adjective (прилагательное), preposition (предлог); синтаксические связи между частями речи есть, например: It is dark. (it - подлежащее, is – сказуемое, dark - обстоятельство), Tonywas here yesterday. (Tony - подлежащее, was - сказуемое, here - обстоятельство, yesterday - обстоятельство)

делитель), 3+7=10 (3 – слагаемое, 7 – слагаемое, 10 – сумма);

имеет свой синтаксис, а именно, между математическими единицами имеются связи, например: (знак > говорит о том, что данное выражение относится к нулю как большая или равная нулю величина)

3) выполнение основных функций языка:

а) коммуникативная

а) используется для передачи информации, например: Close the door. (Закрой дверь.)

а ) используется для передачи информации, например:

Продолжение. табл. 2.1

Критерии, по которым проводилось сравнение для определения лингвистического аспекта

Английский язык

Язык математики

3) выполнение основных функций языка:

а) коммуникативная

б) когнитивная

в) аккумулятивная

Wash the dishes. (Помой посуду.);

б) есть словари разного характера, например: орфографический, толковый и т. д.;

в) знания накапливаются веками, хранятся в библиотеках.

б) имеются специальные сборники формул, например: сборник таблиц Брадиса В.М. (в нём собраны значения тангенсов, котангенсов, синусов и косинусов для разных углов);

в) знания накапливаются веками, хранятся в библиотеках.

Таблица 2.2

Метры и размеры стихотворений с применением математических методов исследования

Размер стиха

Ударные слоги

Математическая зависимость

Мат. модель

Дактиль

1,4,7,10…

d=3

Ариф. прогрессия

Анапест

3,6,9,12…

d=3

Ариф. прогрессия

Амфибрахий

2,5,8,11…

d=3

Ариф. прогрессия

Ямб

2,4,6,8,10…

d=2

Ариф. прогрессия

Хорей

1,3,5,7…

d=2

Ариф. прогрессия

Таблица 2.3

Количественный звуковой состав в двух отрывках из двух стихотворений

 

Частота употребления звуков в отрывке из стихотворения Джорджа Гордона Байрона

Частота употребления звуков в отрывке из стихотворения Роберта Ли Фроста

Гласные

59 звуков

41%

52 звука

43,5%

Согласные:

сонорные

звонкие

глухие

23 звука

27 звуков

35 звуков

16%

19%

24%

23 звука

29 звуков

16 звуков

19%

24%

13,5%

Итого

144 звука

100%

120 звуков

100%

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Схема 2.1

Схема 2.2

Схема 2.3

Просмотров работы: 149